1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 +...+ 1//2019^2 < 1/2

Đặt A=1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 +...+ 1//2019^2

⇒   A=1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 +...+ 1//2019^2 < 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 + 1/5.6 +....+ 1/2018.2019

Đặt B=1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 + 1/5.6 +....+ 1/2018.2019

⇒   B= 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 +....+ 1/2018 - 1/2019

⇒   B= 1/2  -  1/2019

Ta có (1/2 - 1/2019) < 1/2

⇒               B             < 1/2

Mà A < B

⇒  A < 1/2   (đpc/m)

Cho mik hay nhất nhé!

#NOCOPY 

Giải thích các bước giải:

Đặt biểu thức trên là $A$

 Ta thấy:

$\dfrac{1}{3^2}<\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$
Tương tự các phân số khác, tính tổng lại ta được:

 $A<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2018}-{1}{2019}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2019}<\dfrac{1}{2}$
   Vậy $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{2019}^2<\dfrac{1}{2}.$