Giải thích các bước giải:

a.Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=BM$

$\to DE=CN$

$\to NE=ED+DN=CN+DN=CD=AB$

Mà $AB//NE$

$\to AENB$ là hình bình hành

$\to AE//BN$

Ta có :$AD=AB,\widehat{ADE}=\widehat{ABM}=90^o, DE=BM$

$\to \Delta ADE=\Delta ABM(c.g.c)$

$\to \widehat{BAM}=\widehat{DAE}$

$\to \widehat{MAE}=\widehat{MAD}+\widehat{DAE}=\widehat{MAD}+\widehat{MAB}=\widehat{BAD}=90^o$

$\to AE\perp AI\to IM\perp BN$ vì $AE//BN$

Mà $BC\perp NI\to M$ là trực  tâm $\Delta BIN$

$\to NM\perp BI$

b.Từ câu a  $\to AM=AE$

Ta có $AE\perp AI, AD\perp EI$

$\to \dfrac{1}{AE^2}+\dfrac1{AI^2}=\dfrac1{AD^2}$

$\to \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac1{AI^2}=\dfrac1{a^2}$ không đổi

c.Ta có:

$MN^2=CN^2+CM^2=CN^2+(BC-BM)^2=CN^2+(a-CN)^2\ge \dfrac12(CN+a-CN)^2=\dfrac12a^2$

$\to MN\ge a\cdot \dfrac1{\sqrt{2}}$

Dấu = xảy ra khi $CN=a-CN\to CN=\dfrac12a\to N$ là trung điểm $CD\to M$ là trung điểm $BC$