Để $A=\frac{18n+3}{21n+7}=$ $\frac{3(6n+1)}{7(3n+1)}$ rút gọn đc.

Thì 6n+1 và 3n+1 phải có cùng nhân tử. (vì (3;7)=1)

Gọi ƯCLN(6n+1;3n+1)=a

⇒ 6n+1 chia hết a; 3n+1 chia hết a

⇔ 6n+1 chia hết a; 6n+2 chia hết a

⇔ 6n+2-(6n+1) chia hết a

⇔ 1 chia hết a

⇒ a=1⇒ 6n+1 và 3n+1 nguyên tố cùng nhau.

Hay $\frac{3(6n+1)}{7(3n+1)}$ ko thể tối giản

Gọi ước chung của $18n+3$ và $21n+7$ là $d\ (d\neq 0)$

$\left\{ \begin{array}{l}18n + 3\,\, \vdots \,\,d\\21n + 7\,\, \vdots d\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {6n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,d\\7\left( {3n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6n + 1\,\, \vdots \,\,d\\3n + 1\,\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6n + 1\,\, \vdots \,\,d\\6n + 2\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {6n + 2} \right) - \left( {6n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\,d\\ \Rightarrow 6n + 2 - 6n - 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d = 1.\end{array}$

Vậy $\dfrac{18n+3}{21n+7}$ là phân số tối giản