Có  2 cách, cách 1 là chứng minh \(\widehat{MKN}\) bẹt ( = 180 độ), cách 2 là chứng minh 2 đoạn nằm trên cùng 1 doạn cùng song song với cạnh thứ 3. Có thể cách 2 hơi khó hiểu hơn nhé, mình trình bày cả 2 cách.

Cách 1:

Ta có: \((\widehat{FKM}+\widehat{MKD})+\widehat{DKC}=90^o+90^o=180^o\) 
mà \(\widehat{FKM}=\widehat{NKC}\left(đối đỉnh\right)\)
⇒ \(\widehat{NKC}+\widehat{MKD}+\widehat{DKC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{MKN}=180^o\)

⇒ \(\widehat{MKN}\) bẹt 
Vậy M ; K; N thẳng hàng (đpcm)

Cách 2:

Nối 2 điểm E và F lại

Ta có: + DN // BE ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (a)
          + DK // BF ( Cùng \(\perp\) CF ) \(\Rightarrow\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\) (b)
Từ (a) và (b) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CK}{CF}\) \(\Rightarrow\) KN // EF (1)
Ta có: + FH // MD ( Cùng \(\perp\) AB) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AH}{AD}\) (c)
           + HE // DN ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AH}{AD}\) (4)
Từ (c) và (d) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AN}\) \(\Rightarrow\) EF // MN (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) K, M, N thẳng hàng (dpcm)

$(\widehat{FKM}+\widehat{MKD})+\widehat{DKC}=180^\circ$

$\widehat{NKC}+\widehat{MKD}+\widehat{DKC}=180^\circ\ (\widehat{FKM}=\widehat{NKC}\ \text{đối đỉnh})$

$\Rightarrow\widehat{MKN}=180^\circ$

$⇒ M,K,N$ thẳng hàng