$AB//DM$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{AI}{IM}=\dfrac{AB}{DM}$

$AB//MC$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{BK}{KM}=\dfrac{AB}{MC}$

Lại có: $DM=MC$ ($M$ là trung điểm $CD$)

$⇒\dfrac{AI}{IM}=\dfrac{BK}{KM}=\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{AB}{MC}$

$⇒IK//CD$

$b,$ $IE//DM$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{EI}{DM}$

$KF//MC$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{BK}{BM}=\dfrac{KF}{MC}$

$IK//MC$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{IK}{MC}=\dfrac{AI}{AM}$

Mà: $DM=MC;\dfrac{AI}{IM}=\dfrac{BK}{KM}⇒\dfrac{AI}{AI+IM}=\dfrac{BK}{KM+BK}⇒\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{BK}{BM}$

$⇒\dfrac{IE}{DM}=\dfrac{IK}{DM}=\dfrac{KF}{DM}$

$⇒EI=IK=KF$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `a)` Ta có $\ : AB // MC $

Theo hệ quả của định lí $\ Ta - let: $

$\ ⇒ \dfrac{BK}{MK} = \dfrac{AB}{MC} $

Ta lại có $\ : AB // MD $

Theo hệ quả của định lí $\ Ta - let: $

$\ ⇒ \dfrac{AI}{MI} = \dfrac{AB}{MD} $

Mà `MC = MD`

$\ ⇒ \dfrac{AB}{MC} = \dfrac{AB}{MD} $ 

$\ ⇒ \dfrac{BK}{MK} = \dfrac{AI}{MI} $

$\ ⇒ IK // AB $

$\ ⇒ IK // CD $ 

$\ ⇒ ĐPCM $

b) Xét $\Delta$`ADM` có  $\ IE // DM $

Theo hệ quả của định lí $\ Ta - let: $

$\ ⇒ \dfrac{AI}{AM} = \dfrac{IE}{MD} $ $\ (1) $

Xét $\Delta$`BCM` có $\ KF // CM $

Theo hệ quả của định lí $\ Ta - let: $

$\ ⇒ \dfrac{BK}{BM} = \dfrac{KF}{MC} $  $\ (2) $

Xét $\Delta$`ACM` có $\ IK // CM $

Theo hệ quả của định lí $\ Ta - let: $

$\ ⇒ \dfrac{AI}{AM} = \dfrac{IK}{MC} $ $\ (3) $

Mà `MC = MD` và $\ \dfrac{BK}{MK} = \dfrac{AI}{MI} $  (câu a)

$\ ⇒ \dfrac{BK}{MK + BK} = \dfrac{AI}{MI + AI} $

$\ ⇒ \dfrac{BK}{BM} = \dfrac{AI}{AM} $

Từ $\ (1), (2), (3) $ $\ ⇒ \dfrac{IE}{MD} = \dfrac{KF}{MD} = \dfrac{IK}{MD} $

$\ ⇒ EI = IK = KF $

$\ ⇒ ĐPCM $