c)

Với $D$ là điểm chính giữa cung $BC$

Nên $AD$ là phân giác $\widehat{BAF}$

Mà $AD\bot BF$ tại $H$

Nên $AD$ là đường trung trực của $BF$

Do đó $H$ là trung điểm $BF$

$\Delta FBC$ có $H$ là trung điểm $BF$, $HK//BC$

Nên $K$ là trung điểm $CF$

Do đó $HK$ là đường trung bình của $\Delta FBC$

$\Rightarrow HK=\dfrac{1}{2}BC$

Mà $BC$ không đổi nên $HK$ cũng không đổi

Với $D$ là điểm chính giữa của cung $BC$ cố định

Nên $\overset\frown{CD}$ cố định

$\Rightarrow \widehat{DAC}$ không đổi

Mà $\widehat{DAC}+\widehat{ADK}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{ADK}$ không đổi

Ta có $\Delta DAE$ có hai đường cao $AK,EH$

Nên có được $\Delta DHK\backsim\Delta DEA$

$\Rightarrow \dfrac{HK}{EA}=\dfrac{DH}{DE}=\cos \widehat{ADK}$

$\Rightarrow EA=\dfrac{HK}{\cos \widehat{ADK}}$

Mà $HK$ không đổi, $\widehat{ADK}$ không đổi

Nên $EA$ không đổi

Kẻ $OI\bot AE$

Vì $OA=OE=R$ không đổi, $AE$ cũng không đổi

Nên độ dài $OI$ cũng không đổi

Trong đó điểm $O$ cố định

Nên đường tròn $\left( O;OI \right)$ cố định

Vậy $AE$ luôn tiếp xúc với $\left( O;OI \right)$ cố định