$\frac{3}{1^2+2^2}$ + $\frac{5}{2^2+3^2}$ + $\frac{7}{3^2+4^2}$ +....+$\frac{19}{9^10+10^2}$ 
= ( $\frac{1}{1^2}$ - $\frac{1}{2^2}$ ) + ( $\frac{1}{2^2}$ + $\frac{1}{3^2}$ ) + ($\frac{1}{3^2}$ + $\frac{1}{4^2}$)+...+($\frac{1}{9^2}$ + $\frac{1}{10^2}$)
= $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{10^2}$ 
= 1 - $\frac{1}{100}$ <1

a)$\frac{2}{1^{2}.2^{2}}$+$\frac{5}{2^{2}.3^{2}}$+$\frac{7}{3^{2}.4^{2}}$+...+$\frac{19}{9^{2}.10^{2}}$

=$\frac{1}{1^{2}}$ -$\frac{1}{2^{2}}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ -$\frac{1}{3^{2}}$ +$\frac{1}{3^{2}}$ -

$\frac{1}{4^{2}}$ +...+$\frac{1}{9^{2}}$ -$\frac{1}{10^{2}}$ 

=$\frac{1}{1}$ -$\frac{1}{100}$ <1

Vậy $\frac{2}{1^{2}.2^{2}}$+$\frac{5}{2^{2}.3^{2}}$+$\frac{7}{3^{2}.4^{2}}$+...+$\frac{19}{9^{2}.10^{2}}$<1(ĐPCM)

b)Đặt:

A=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3^{2}}$+$\frac{3}{3^{3}}$+$\frac{4}{3^{4}}$...+$\frac{100}{3^{100}}$

3A=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{3^{2}}$+$\frac{4}{3^{3}}$+...+$\frac{100}{3^{99}}$

3A-2A=1+$\frac{-1}{3^{2}}$+$\frac{-2}{3^{3}}$+...+$\frac{-98}{3^{99}}$-$\frac{200}{3^{100}}$

A=1-($\frac{1}{3^{2}}$+$\frac{2}{3^{3}}$+...+$\frac{98}{3^{99}}$+$\frac{100}{3^{100}}$)-$\frac{100}{3^{100}}$

A=1-A-$\frac{100}{3^{100}}$

A+A=1-$\frac{100}{3^{100}}$

2A=1-$\frac{100}{3^{100}}$

A=$\frac{1-\frac{100}{3^{100}}}{2}$ 

A=$\frac{2}{4}$ -$\frac{50}{3^{100}}$<$\frac{3}{4}$

Vậy $\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3^{2}}$+$\frac{3}{3^{3}}$+$\frac{4}{3^{4}}$...+$\frac{100}{3^{100}}$<$\frac{3}{4}$(ĐPCM)

Cho mik xin TRẢ LỜI HAY NHẤT NHÉ!!!