Bạn tự vẽ hình nhé!

a, xét ΔABC cân tại A => AB= AC

Có BK ⊥ AC

CM// BK

=> CM ⊥AC

Xét ΔACM vuông tại C

=> AC²= AI. AM

Mà AC= AB

=> AB²= AI.AM

b, Kẻ HO ⊥ AC

Xét ΔABC cân tại A có AH là đường cao

=> AH là đưuòng trung tuyến

=> H là trung điểm BC

Có H là tđ BC => BC= 2.BH= 2.HC

Có HO ⊥ AC

BK ⊥ AC

=> HO// BK

Xét ΔBKC có HO// BK, H là tđ BC

=> O là tđ KC

Xét ΔBKC, có H,O là tđ của BC, KC

=> OH là đường trung bình

=> 2.OH= BK

=> 4.OH²= BK²

Xét ΔAHC vuông tại H

=> $\frac{1}{HO²}$ = $\frac{1}{AH²}$+ $\frac{1}{HC²}$

=> $\frac{1}{4HO²}$ = $\frac{1}{4AH²}$+ $\frac{1}{4HC²}$

Mà BC= 2.HC => BC²= 4.HC²

=> $\frac{1}{4HO²}$ = $\frac{1}{4AH²}$+ $\frac{1}{BC²}$

Mà 4.OH²= BK²

=> $\frac{1}{BK²}$ = $\frac{1}{4AH²}$+ $\frac{1}{BC²}$

a) Ta có: $CM//BK \, (gt)$

mà $BK\perp AC \, (gt)$

nên $CM\perp AC$

Xét $∆IAC$ và $∆CAM$ có:

$\widehat{CIA} = \widehat{MCA} = 90^o$

$\widehat{BAC}:$ góc chung

Do đó $∆IAC\sim ∆CAM \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{AM} = \dfrac{AI}{AC}$

$\Rightarrow AC^2 = AI.AM$

mà $AC = AB \,(gt)$

$\Rightarrow AB^2 = AI.AM$

b) Gọi $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$

$\Rightarrow AC = AN = AB$

$\Rightarrow ∆BNC$ vuông tại $B$

$\Rightarrow AH//BN \, (\perp BC)$

mà $AC = AN$

$\Rightarrow AH$ là đường trung bình

$\Rightarrow BN = 2AH$

Áp dụng hệ thức lượng vào $∆BNC$ vuông tại $B$, đường cao $BK$, ta được:

$\dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{BN^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{(2AH)^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{4AH^2}$