Hình vuông `ABCD` có $AB//CD$, mà $F∈CD⇒ AB//CF.$

Áp dụng định lí $Talet$ vào `∆ABE` có $AB//CF$, ta được:

`\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{EC}` 

`⇒\frac{AE}{EF+AE}=\frac{BE}{EC+EC}` 

`⇒\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{BC}` 

`⇒\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{BE^2}{BC^2}`  `(1)`

Áp dụng định lí $Pitago$ vào `∆ABE` vuông tại `B` có:

`AE^2=AB^2+BE^2⇒BE^2=AE^2-AB^2` `(2)`

Từ `(1)` và `(2):`

`⇒\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{AE^2-AB^2}{BC^2}`

`⇔\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{BC^2}-\frac{AB^2}{BC^2}`

Do `ABCD` là hình vuông `⇒AB=BC=CD=DA.`

`⇒\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{AD^2}-\frac{BC^2}{BC^2}`

`⇒\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{AE^2}{AD^2}-1`

`⇒\frac{AE^2}{AF^2}+1=\frac{AE^2}{AD^2}`

`⇒\frac{AE^2}{AF^2}+\frac{AE^2}{AE^2}=\frac{AE^2}{AD^2}`

`⇔AE^2.(\frac{1}{AF^2}+\frac{1}{AE^2})=AE^2.\frac{1}{AD^2}`

`⇔\frac{1}{AF^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AD^2}.` ( vì `AE\ne0` nên ta chia cả hai vế cho `AE^2`)

Vậy `\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}.` $(đpcm).$

Hình tham khảo:

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Tham khảo:

Qua $A$ vẽ $AG⊥AF (G∈BC)$

Có $ AB = AD; ∠BAE = ∠DAG$ (cùng phụ với $∠DAE$)

$ ⇒Δ$ vuông $ABE = Δ$ vuông $ADG ⇒ AE = AG$

Tam giác vuông $AFG$ vuông tại $A$ đường cao $AD$

nên có hệ thức lượng:

$\frac{1}{AG²} + \frac{1}{AF²} = \frac{1}{AD²} ⇔\frac{1}{AE²} + \frac{1}{AF²} = \frac{1}{AD²} (đpcm)$