Giải thích các bước giải:

a,

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\
 \Leftrightarrow B{C^2} = {12^2} + {16^2}\\
 \Rightarrow BC = 20\left( {cm} \right)
\end{array}\) 

Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên \(MA = \frac{1}{2}BC = 10\left( {cm} \right)\)

b,

Gọi I là trung điểm AC thì MI là đường trung bình trong tam giác  ABC

Do đó, \(MI//AB \Rightarrow MI \bot AC\)

M đối xứng với A qua C nên M, I, N thẳng hàng và I là trung điểm MN

Tứ giác AMCN có 2 đường chéo MN và AC vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên AMCN là hình thoi

Chu vi của hình thoi AMCN là      \(4AM = 4.10 = 40\left( {cm} \right)\)

c,

AMCN là hình vuông khi và chỉ khi AM vuông góc MC hay AM vuông góc BC

Tam giác ABC có AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ABC là tam giác cân.