1)

Vì $MC,MA$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Nên $\widehat{MAO}=\widehat{MCO}=90{}^\circ $

Do đó $\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180{}^\circ $

Vậy $MAOC$ nội tiếp

Nên bốn điểm $M,A,O,C$ cùng thuộc một đường tròn

b)

Ta có:

+  $MC=MA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+  $OC=OA=R$

Nên $OM$ là đường trung trực của $AC$

Mà $D\in OM$

Nên $DA=DC$

$\Rightarrow \overset\frown{DA}=\overset\frown{DC}$

$\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{CAD}$

$\Rightarrow AD$ là phân giác $\widehat{MAE}$

$\Rightarrow \frac{MD}{ED}=\frac{MA}{EA}$

$\Rightarrow MD.EA=MA.ED$

c)

Có:

+  $OM\bot AC$ (vì $OM$ là đường trung trực của $AC$)

+  $AC//OK\left( gt \right)$

Nên $OM\bot OK$

Mà:

+  $OM$ là phân giác $\widehat{AOC}$

+  $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù

Nên $OK$ là phân giác $\widehat{BOC}$

Mà $\Delta OBC$ cân tại $O$

Nên $OK$ cũng đồng thời là đường trung trực

Vậy $\Delta KCO=\Delta KBO$

Do đó $KC=KB$ và $\widehat{KCO}=\widehat{KBO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow KC=KB$ và $KB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Ta có: $OD.MK=R.MK$

$\Rightarrow OD.MK=R\left( CM+CK \right)$

$\Rightarrow OD.MK\ge R.2\sqrt{CM.CK}$

$\Rightarrow OD.MK\ge R.2\sqrt{O{{C}^{2}}}$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow OD.MK\ge R.2\sqrt{{{R}^{2}}}$

$\Rightarrow OD.MK\ge R.2R$

$\Rightarrow OD.MK\ge 2{{R}^{2}}$ (const)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $OD.MK$ là $2{{R}^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $CM=CK$

$\Rightarrow C$ là trung điểm của $MK$

$\Rightarrow OC$ là đường trung bình của hình thang $ABKM$

$\Rightarrow OC//MA$

$\Rightarrow OC\bot AO$

$\Rightarrow AOCM$ là hình chữ nhật

Vậy $M$ di động sao cho $AOCM$ là hình chữ nhật thì tích $OD.MK$ đạt giá trị nhỏ nhất