a) Ta có: $\widehat{B} = 180^o - \widehat{A} - \widehat{C} = 60^o$

$\Rightarrow BH = AB.cos\widehat{B} = 10.cos60^o = 5 \, cm$

$\Rightarrow AH = AB.sin60^o = 5\sqrt{3} \, cm$

$\Rightarrow CH = AH = 5\sqrt{3} \, cm$

$\Rightarrow AC = \dfrac{AH}{sin\widehat{C}} = \dfrac{10}{sin45^o} = 5\sqrt{6} \, cm$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.5\sqrt{3}.(5 + 5\sqrt{3}) = \dfrac{25}{2}.(3+\sqrt{3}) \, cm^2$

b) Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$AE.AB = AH^2$

$AF.AC=AH^2$

Do đó $AE.AB = AF,AC$

c) Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{AEH} = 90^o$ $(HE\perp AB)$

$\widehat{AFH} = 90^o$ $(HF\perp AC)$

$\widehat{AEH}$ và $\widehat{AFH}$ cùng nhìn cạnh $AH$

Do đó $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $M$ đường kính $AH$

Ta lại có: $I$ là trung điểm dây cung $EF$

$\Rightarrow MI\perp EF$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\hat B=180^o-\hat A-\hat C=60^o$ mà $AH\perp BC$

$\to \Delta AHB$ là nửa tam giác đều

$\to BH=\dfrac12AB=5, AH=\dfrac{BA\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Ta có $AH\perp BC\to \widehat{AHC}=90^o,\widehat{ACH}=\hat C=45^o$

$\to\Delta AHC$ vuông cân tại $H\to HC=HA=5\sqrt{3}, AC=AH\sqrt{2}=5\sqrt{6}$ 

$\to BC=HB+HC=5+5\sqrt{6}$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12\cdot 5\sqrt{3}\cdot (5+5\sqrt{6})$

b.Ta có:
$HE\perp AB\to\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^o$

Mà $\widehat{EAH}=\widehat{BAH}\to\Delta AEH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AE.AB=AH^2$

Tương tự chứng minh được $AF.AC=AH^2\to AE.AB=AF.AC$

c.Ta có $\Delta AEH$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $AH\to MA=\dfrac12AH$

Tương tự $MF=\dfrac12 AH\to ME=MF$

$\to \Delta MEF$ cân tại $M$

Mà $N$ là trung điểm $EF\to MN\perp EF$