Đáp án:

a. \(\varepsilon  = \dfrac{{{D_1}\tan \dfrac{{{a_1}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_1}}}{2}}}{{\left( {{D_1} - {D_2}} \right)\tan \dfrac{{{a_2}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_2}}}{2}}}\)

b. \({D_1} = \dfrac{\varepsilon }{{\varepsilon  - 1}}{D_2}\)

Giải thích các bước giải:

Lưu ý ở trong hình \(\alpha  = \dfrac{a}{2}\)

a. Ban đầu khi chưa nhúng trong chất lỏng thì:

\[\tan \dfrac{{{a_1}}}{2} = \dfrac{{{F_d}}}{P} = \dfrac{{\dfrac{{k{q^2}}}{{{r_1}^2}}}}{{{D_1}gV}} = \dfrac{{k{q^2}}}{{{D_1}gV{l^2}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_1}}}{2}}}\]

KHi nhúng vào chất lỏng thì trọng lượng của vật sẽ là trọng lượng biểu kiến P' ( vì có lực đẩy Ác si mét ), ta có:

\[\tan \dfrac{{{a_2}}}{2} = \dfrac{{{F_d}}}{{P'}} = \dfrac{{\dfrac{{k{q^2}}}{{\varepsilon {r_2}^2}}}}{{{D_1}gV - {D_2}gV}} = \dfrac{{k{q^2}}}{{\varepsilon {l^2}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_2}}}{2}gV\left( {{D_1} - {D_2}} \right)}}\]

Lây 2 biểu thức chia cho nhau ta được:

\[\dfrac{{\tan \dfrac{{{a_1}}}{2}}}{{\tan \dfrac{{{a_2}}}{2}}} = \dfrac{{\varepsilon \left( {{D_1} - {D_2}} \right){{\sin }^2}\dfrac{{{a_2}}}{2}}}{{{D_1}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_1}}}{2}}} \Rightarrow \varepsilon  = \dfrac{{{D_1}\tan \dfrac{{{a_1}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_1}}}{2}}}{{\left( {{D_1} - {D_2}} \right)\tan \dfrac{{{a_2}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{{{a_2}}}{2}}}\]

b. Để a1 = a2 thì:

\[\varepsilon  = \dfrac{{{D_1}}}{{{D_1} - {D_2}}} \Rightarrow {D_1} = \dfrac{\varepsilon }{{\varepsilon  - 1}}{D_2}\]