$\textit{# Việt}$

Bài 77:

` a) `

` x^2 - 8x + 1 = 0 `

` \Delta = (-8)^2 - 4. 1. 1 = 60 `

` => \Delta > 0 `

` => ` Pt có 2 nghiệm phân biệt

` x_1 = \frac{8 + \sqrt{60}}{2} = 4 + \sqrt{15} `

` x_2 = \frac{8 - \sqrt{60}}{2} = 4 - \sqrt{15} ` 

Theo Vi-ét:

` {(x_1 + x_2 = 8),(x_1. x_2 = 1):} `

Ta có:

` A = x_1^3 + x_2^3 `

` = (x_1 + x_2). (x_1^2 - x_1. x_2 + x_2^2) `

` = 8. (x_1^2 + 2x_1. x_2 + x_2^2 - 3x_1. x_2) `

` = 8. [(x_1 + x_2)^2 - 3. 1] `

` = 8. (64 - 3) `

` = 8. 61 `

` = 488 `

` b) `

Ta có: 

$(*)$ ` y_1 = 2 + 1/{x_2} `

` = 2 + 1/{4 - \sqrt{15}} `

` = \frac{2. 1}{1} + {4 + \sqrt{15}}/{1} `

` = 6 + \sqrt{15} `

$(*)$ ` y_2 = 2 + 1/{x_1} `

` = 2 + 1/{4 + \sqrt{15}} `

` = \frac{2. 1}{1} + {4 - \sqrt{15}}/{1} ` 

` = 6 - \sqrt{15} `

Theo Vi-ét đảo ta có:

` {(y_1 + y_2 = S),(y_1. y_2 = P):} `

` <=> {(S = 6 + \sqrt{15} + 6 - \sqrt{15}),(P = (6 + \sqrt{15}). (6 - \sqrt{15})):} ` ` (S^2 \ge 4P) `

` <=> {(S = 12),(P = 21):} ` (TMĐK)

Vậy phương trình cần tìm là: ` y^2 - 12y + 21 = 0 `

_____________________________________________________________________

Bài 78:

` a) `

` x^2 - mx - 5 = 0 `

Thay ` m = 4 ` vào phương trình ta được:

` x^2 - 4x - 5 = 0 `

` \Delta' = (-2)^2 - (-5) = 4 + 5 = 9 `

` => \Delta' > 0 `

` => ` Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

` x_1 = \frac{2 + \sqrt{9}}{1} = 5 `

` x_2 = \frac{2 - \sqrt{9}}{1} = -1 `

` b) `

Theo Vi-ét ta có:

`{(x_1 + x_2 = m),(x_1. x_2 = -5):}`

` <=> {(2 + x_2 = m),(4. x_2 = -5):} `

` <=> ` $\begin{cases} 2 + x_2 = m\\x_2 = \dfrac{-5}{4} \end{cases}$

` <=> ` $\begin{cases} 2 - \dfrac{5}{4} = m\\x_2 = \dfrac{-5}{4} \end{cases}$

` <=> ` $\begin{cases} m = \dfrac{3}{4}\\x_2 = \dfrac{-5}{4} \end{cases}$

` c) `

` x^2 - mx - 5 = 0 `

` \Delta = (-m)^2 - 4. (-5) = m^2 + 20 `

Để phương trình có ` 2` nghiệm 

` => \Delta \ge 0 `

` <=> m^2 + 20 \ge 0 ` (luôn đúng)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm 

` x_1 = \frac{m + \sqrt{m^2 + 20}}{2} = {m + \sqrt{m^2 + 20}}/2 `

` x_2 = \frac{m - \sqrt{m^2 + 20}}{2} = {m - \sqrt{m^2 + 20}}/2 ` 

Mà để ` x_1 < x_2 `

` <=> {m + \sqrt{m^2 + 20}}/2 < {m - \sqrt{m^2 + 20}}/2 `

` <=> m + \sqrt{m^2 + 20} < m - \sqrt{m^2 + 20} `

` <=> m + \sqrt{m^2 + 20} - m + \sqrt{m^2 + 20} < 0 `

` <=> 2\sqrt{m^2 + 20} < 0 `

` <=> \sqrt{m^2 + 20} < 0 ` (vô lí)

Vậy ` x_1 ` không thể bé hơn ` x_2 `

Theo Vi-ét:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = m\\x_1. x_2 = -5 \end{cases}$ 

Ta có:

` |x_1| - |x_2| = 2 `

` <=> \sqrt{x_1^2} - \sqrt{x_2^2} = 2 `

` <=> (\sqrt{x_1^2} - \sqrt{x_2^2})^2 = 4 `

` <=> x_1^2 - 2\sqrt{(x_1. x_2)^2} + x_2^2 - 4 = 0`

` <=> x_1^2 + 2x_1. x_2 + x_2^2 - 2x_1. x_2 - 10 - 4 = 0 `

` <=> m^2 + 10 - 10 - 4 = 0 `

` <=> m^2 - 4 = 0 `

` <=> m^2 = 4 `

` <=> m = \pm 4 `