Bài 1:

a)

Xét $\Delta AHM$ vuông tại $K$  và $\Delta AKM$ vuông tại $K$, ta có:

+  $AM$ là cạnh chung

+  $\widehat{HAM}=\widehat{KAM}$ (vì $AM$ là phân giác $\widehat{HAC}$)

Nên $\Delta AHM=\Delta AKM\left( ch-gn \right)$

Do đó $AH=AK$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

+  $\widehat{BAM}=\widehat{BAH}+\widehat{HAM}$

+  $\widehat{BMA}=\widehat{BCA}+\widehat{CAM}$ (tính chất góc ngoài của $\Delta ACM$)

Mà:

+  $\widehat{BAH}=\widehat{BCA}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

+  $\widehat{HAM}=\widehat{CAM}$ (vì $AM$ là phân giác $\widehat{HAC}$)

Nên $\widehat{BAM}=\widehat{BMA}$

Do đó $\Delta BAM$ cân tại $B$

Vậy $BA=BM$

b)

$\Delta ACI$ có hai đường cao $CH,IK$ cắt nhau tại $M$

Nên $M$ là trực tâm của $\Delta ACI$

Do đó $AM\bot CI$

Vì $\Delta AHM=\Delta AKM\left( cmt \right)$

Nên $AH=AK$ và $MH=MK$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $A,M$ thuộc đường trung trực của $HK$

$\Rightarrow AM$ là đường trung trực của $HK$

$\Rightarrow AM\bot HK$

Mà $AM\bot CI$

Vậy $HK//CI$

Bài 2:

Theo bất đẳng thức trong $\Delta ABC$, ta có:

$\,\,\,\,\,\left| AB-BC \right|<AC<AB+BC$

$\Rightarrow \left| 5-17 \right|<b<5+17$

$\Rightarrow 12<b<22$

Mà $b$ là số nguyên dương và $b$ là cạnh lớn nhất

Nên $b\in \left\{ 18;19;20;21 \right\}$