Đáp án:

    `m^2+n^2≤9`

Giải thích các bước giải:

Để hàm `y=msinx−ncosx−3x` nghịch biến trên `R` thì:

`y′=mcosx+nsinx−3≤0,∀x∈R`

`⇔mcosx+nsinx≤3∀x∈R`

`⇒(mcosx+nsinx)max=3` `(∗)`

Theo bất đẳng thức `Bunhiacopxky` có:

`(mcosx+nsinx)^2≤(m^2+n^2)(cos^2x+sin^2x)`

`=>(mcosx+nsinx)^2≤m^2+n^2`

`⇒mcosx+nsinx≤`$\sqrt{m^2+n^2}$

`=>(mcosx+nsinx)max=`$\sqrt{m^2+n^2}$ `(∗∗)`

Từ `(∗),(∗∗)=>y′≤0<=>`$\sqrt{m^2+n^2}$ `≤3⇔m^2+n^2≤9`

Đáp án:

\(m^{2}+n^{2} \leq 9\)

Giải thích các bước giải:

 TXĐ: D=R

\(y'=m\cos x+n\sin x-3\)

Để hàm số nghịch biến trên R: 

\(y' \leq 0\)

\(\Leftrightarrow m\cos x+n\sin x-3 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{m^{2}+n^{2}}(\dfrac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}.\cos x+\dfrac{n}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}.\sin x) \leq 3\) (Tồn tại \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha =\dfrac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\))

\(\Leftrightarrow \sqrt{m^{2}+n^{2}}.\sin (\alpha +x) \leq 3\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}} \geq \sin (\alpha +x)=h(x)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}} \geq \max h(x)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}} \geq 1\)

\(\Leftrightarrow m^{2}+n^{2} \leq 9\)