Bài 3:

`a) ` Áp dụng định lý $Talet$ vào `∆ABC` có $ED//BC:$

`\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}` ( hệ quả )

Thay số: `\frac{10}{15}=\frac{8}{AE}=\frac{12}{DE}`

 `⇔ \frac{2}{3}=\frac{8}{AE}=\frac{12}{DE}`

`⇒ 10.AE=8.15⇔AE=8.15:10=12.`

`⇒ 10.DE=12.15⇔DE=12.15:10=18.`

Vậy `AE=12 (cm), DE= 18 (cm).`

`b)` Có: `ED//BC⇒\hat{BCF}=\hat{FDE} ` ( hai góc so le trong )

Xét `∆FBC` và `∆FED` có:

` \hat{BCF}=\hat{FDE} ` $(cmt)$

` \hat{BFC}=\hat{EFD} ` ( hai góc đối đỉnh )

`⇒ ∆FBC ∼ ∆FED (g.g)` 

Vậy ` ∆FBC ∼ ∆FED (g.g).`

`c)` Xét ` ∆EAP` có $BC//AP$:

`⇒ \frac{BC}{AP}=\frac{EC}{AE}` ( hệ quả định lí $Talet$ ) (1)

Xét ` ∆DAQ` có $BC//AQ$:

`⇒ \frac{BC}{AQ}=\frac{DB}{DA}` ( hệ quả định lí $Talet$ ) (2)

Mà theo hệ quả định lí  $Talet$ trong `∆ABC` có $ED//BC:$ thì:

`⇒ \frac{EC}{AE}=\frac{DB}{DA}(=\frac{DE}{BC})` (3)

Từ `(1),(2),(3) ⇒ \frac{BC}{AP}=\frac{BC}{AQ}`

Mà `BC>0 ⇒ AP= AQ (đpcm)`

Vậy `AP= AQ (đpcm).`

Tham khảo hình.

Đáp án:

a) Trong tam giác ADE có: BC//DE

Theo Talet ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{BC}}{{DE}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{10}}{{15}} = \dfrac{8}{{AE}} = \dfrac{{12}}{{DE}}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AE = 12\left( {cm} \right)\\
DE = 18\left( {cm} \right)
\end{array} \right.\\
b)Do:BC//DE\\
 \Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {FED}\left( {so\,le\,trong} \right)\\
Xet:\Delta FBC;\Delta FED:\\
 + \widehat {FBC} = \widehat {FED}\\
 + \widehat {BFC} = \widehat {EFD}\\
 \Rightarrow \Delta FBC \sim \Delta FED\left( {g - g} \right)\\
c)Trong:\Delta EAP:BC//AP\\
 \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AP}} = \dfrac{{EC}}{{EA}}\\
Trong:\Delta DAQ:BC//AQ:\\
 \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AQ}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}\\
Do:\dfrac{{EC}}{{EA}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AP}} = \dfrac{{BC}}{{AQ}}\\
 \Rightarrow AP = AQ
\end{array}$