Đáp án:

a) Xét ΔBAD và ΔBHA có:

+ góc BAD =góc BHA = 90 độ

+ góc ABD chung

=> ΔBAD ~ ΔBHA (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{BD}}{{AB}}\\
 \Rightarrow A{B^2} = BH.BD\\
b)Xét:\Delta ABD;\Delta ACB:\\
 + \widehat {ABD} = \widehat {ACB}\\
 + \widehat {BAD}\,chung\\
 \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ACB\left( {g - g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\\
 \Rightarrow A{B^2} = AC.AD\\
 \Rightarrow AD.AC = BH.BD
\end{array}$

c) Trong ΔAMC có: ID // MC

Theo Talet; $\dfrac{{ID}}{{MC}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}$

Trong ΔAMB có: IE // MB

Theo Talet; $\dfrac{{IE}}{{MB}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{MC}} = \dfrac{{IE}}{{MB}}\\
Do:MC = MB\\
 \Rightarrow ID = IE
\end{array}$

=> I là trung điểm của DE.

d)

Xét ΔIHD và ΔMHB có:

+ góc IHD = góc MHB = 90 độ

+ góc HID = góc HMB (so le trong)

=> ΔIHD ~ ΔMHB (g-g)

e) Do: ΔIHD ~ ΔMHB nên:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{{ID}}{{MB}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{{2.ID}}{{2.MB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\\
Xet:\Delta HDE;\Delta HBC:\\
 + \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\\
 + \widehat {HBC} = \widehat {HDE}\left( {so\,le\,trong} \right)\\
 \Rightarrow \Delta HDE \sim \Delta HBC\left( {c - g - c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {DHE} = \widehat {BHC}\\
 \Rightarrow \widehat {DHE} + \widehat {DHC} = \widehat {BHC} + \widehat {DHC}\\
 \Rightarrow \widehat {EHC} = {180^0}
\end{array}$

=> E,H,C thẳng hàng