Bài 4:

Cách 1:

Ta có `BĐT` sau: `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)` 

Chứng minh:

Giả sử `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)` 

`⇔\frac{a^2.y}{x.y}+\frac{b^2.x}{y.x}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}` 

`⇔\frac{a^2y+b^2x}{x.y}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}` 

`⇔(a^2y+b^2x)(x+y) \geq(a^2+2ab+b^2).xy`

`⇔a^2y^2+b^2x^2-2ab.xy\geq0`

`⇔(ay-bx)^2\geq0` ( giả sử đúng ) 

Dấu `''=''` xảy ra khi `ay = bx⇔\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.``(∀x,y>0)` 

Áp dụng điều chứng minh trên ta có: 

`A=1/b+1/b`

`⇔A=1^2/b+1^2/b\ge\frac{(1+1)^2}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}.`

Dấu `''=''` xảy ra khi `1/a = 1/b⇔a=b.``(∀a,b>0)` 

Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`

Cách 2:

Giả sử bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương `a,b`

`1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}`

`⇔ \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`

`⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`

`⇔ (a+b)(a+b) \ge 4ab`

`⇔ (a+b)^2 \ge 4ab`

`⇔ a^2+2ab+b^2 \ge 4ab`

`⇔ a^2+2ab+b^2 - 4ab \ge 0`

`⇔ a^2 - 2ab+b^2 \ge 0`

`⇔ (a-b)^2 \ge 0`  (luôn đúng ⇒ giả sử đúng )

Dấu `''=''` xảy ra khi `(a-b)^2⇔a-b=0⇔a=b.``(∀x,y>0)` 

Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`

Cách 3:

Ta có: `(a-b)^2 \ge 0 `

`⇔a^2-2ab+b^2 \ge 2ab`

`⇔a^2+b^2 \ge 2ab`

`⇔a^2+2ab+b^2 \ge 2ab+2ab`

`⇔(a+b)^2\ge4ab`

`⇔ (a+b)^2. \frac{1}{ab.(a+b)}\ge4ab. \frac{1}{ab.(a+b)}`

`⇔ \frac{(a+b)^2}{ab.(a+b)} \ge \frac{4ab}{ab.(a+b)}`

`⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`

`⇔ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`

`⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$

Dấu `''=''` xảy ra khi `a=b.``(∀x,y>0)` 

Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`

Cách 4:

Ta có: `a^2-2ab+b^2\ge 0 `

`⇔a^2+b^2\ge 2ab `

`⇔ ab(a^2+b^2)\ge 2ab.ab `

`⇔ a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2. `

`(1/a-1/b)^2 \ge 0 `

`⇔ 1/a^2 - \frac{2}{ab} + 1/b^2 \ge 0 `

`⇔ 1/a^2 + 1/b^2 \ge \frac{2}{ab}.  `

`⇔(1/a^2 + 1/b^2). \frac{1}{ab}\ge \frac{2}{ab}. \frac{1}{ab}`

`⇔ \frac{1}{a^3b}+ \frac{1}{ab^3}\ge \frac{2}{a^2b^2} `

`⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{2a^2b^2}`

Lại có: ` a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2 ⇒ \frac{2.2}{2a^2b^2} \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}.`

`⇒\frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}`

`⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{1}{a^2b^2}.\frac{4}{a+b}. `

`⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$

Dấu `''=''` xảy ra khi `a=b.``(∀x,y>0)` 

Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`

Bài 3:

`a) ` Áp dụng định lý $Talet$ vào `∆ABC` có $ED//BC:$

`\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}` ( hệ quả )

Thay số: `\frac{10}{15}=\frac{8}{AE}=\frac{12}{DE}`

 `⇔ \frac{2}{3}=\frac{8}{AE}=\frac{12}{DE}`

`⇒ 10.AE=8.15⇔AE=8.15:10=12.`

`⇒ 10.DE=12.15⇔DE=12.15:10=18.`

Vậy `AE=12 (cm), DE= 18 (cm).`

`b)` Có: `ED//BC⇒\hat{BCF}=\hat{FDE} ` ( hai góc so le trong )

Xét `∆FBC` và `∆FED` có:

` \hat{BCF}=\hat{FDE} ` $(cmt)$

` \hat{BFC}=\hat{EFD} ` ( hai góc đối đỉnh )

`⇒ ∆FBC ∼ ∆FED (g.g)` 

Vậy ` ∆FBC ∼ ∆FED (g.g).`

`c)` Xét ` ∆EAP` có $BC//AP$:

`⇒ \frac{BC}{AP}=\frac{EC}{AE}` ( hệ quả định lí $Talet$ ) (1)

Xét ` ∆DAQ` có $BC//AQ$:

`⇒ \frac{BC}{AQ}=\frac{DB}{DA}` ( hệ quả định lí $Talet$ ) (2)

Mà theo hệ quả định lí  $Talet$ trong `∆ABC` có $ED//BC:$ thì:

`⇒ \frac{EC}{AE}=\frac{DB}{DA}(=\frac{DE}{BC})` (3)

Từ `(1),(2),(3) ⇒ \frac{BC}{AP}=\frac{BC}{AQ}`

Mà `BC>0 ⇒ AP= AQ (đpcm)`

Vậy `AP= AQ (đpcm).`

Tham khảo hình.