4) 

Trên tia AM lấy điểm O sao cho ∠ANO= ∠CNM

Xét ΔACH vuông tại A có AH= AC

=> ΔACH vuông cân tại A

Xét ΔACH vuông có AN là đường trung tuyến

=> AN= CN= NH

=> ΔANH cân tại N => ∠NAH= ∠NHA (1)

Xét ΔACH cân tại A có AN là đường trung tuyến

=> AN là đường phân giác

=> ∠CAN= ∠NAH (2)

Từ (1) và (2)=> ∠CAN= ∠NHA

Xét ΔCHB có ∠NHA là góc ngoài tại H => ∠NHA= ∠NCM+ ∠CBH

=> ∠CAN= ∠NCM+ ∠CBH

=> ∠CAM+ ∠OAN= ∠NCM+ ∠CBH

=> ∠OAN= ∠NCM (vì ΔCAM ~ ΔCBA (g.g) => ∠CAM= ∠CBA)

Xét Δ MCN và ΔOAN có

    ∠NCM= ∠OAN

    ∠MNC= ∠ONA

=> Δ MCN ~ ΔOAN (g.g) 

=> CN/ AN= MC/ OA

=> CN. OA= AN. CM 

Có ∠MNC= ∠ONA

=> ∠MNC+ ∠CNO= ∠ONA+ ∠CNO

=> ∠MNO= ∠CNA

Xét ΔCAH vuông cân tại A có AN là đường phân giác

=> AN là đường cao

=> ∠ANC= 90 độ => ∠MNO= 90 độ

Xét ΔANC vuông tại N có AN= NC 

=> ΔANC vuông cân tại N=> ∠ACN= ∠CAN= 45 độ

Xét Δ MCN ~ ΔOAN => MN/ ON= CN/ AN

Mà CN= AN => MN= ON

Xét ΔMNO vuông tại N có MN=ON

=> ΔMNO vuông cân tại N=> ∠MON= ∠OMN= 45 độ

Xét ΔMNO và ΔCNA có

        ∠OMN= ∠ACN= 45 độ

        ∠ MON= ∠CAN= 45 độ

=> ΔMNO ~ ΔCNA (g.g)

=> MN/ CN= OM/AC

=> MN. AC= CN. OM

Có AC. MN+ AN. CM= CN. OM+ CN. OA= CN. AM (đpcm)