`a)` Ta có: `∆ABC` vuông tại `A`, `AH` là đường cao.

`⇒AH^2=BH.HC`

Lại có: `BC=BH+HC⇒BH=BC-HC=10-HC.`

`⇒AH^2=(10-HC).HC`

`⇔4^2=10HC-HC^2`

`⇔HC^2-10HC=-16`

`⇔HC^2-10HC+16=0`

`⇔HC^2-2HC-8HC+16=0`

`⇔HC(HC-2)-8(HC-2)=0`

`⇔(HC-2)(HC-8)=0`

`⇒`\(\left[ \begin{array}{l}HC=2⇒HB=8\\HC=8⇒HB=2\end{array} \right.\) 

Dễ chứng minh, theo quan hệ góc, hình chiếu `⇒HC>HB⇒HC=8cm,HB=2cm.`

Theo định lí Pitago ta có:

`∆AHB` vuông tại `H` :` AB^2=AH^2+HB^2=2^2+4^2=4+16=20`

`⇒AB= \sqrt{20}cm=2\sqrt{5}cm.`

`∆AHC` vuông tại `H` :` AC^2=AH^2+HC^2=8^2+4^2=64+16=80`

`⇒AC= \sqrt{80}cm=4\sqrt{5}cm.`

`b)` Có `\hat{BAC}=\hat{AIH}=\hat{AKH}=90^0`

`⇒AIHK` là hình chữ nhật.

`⇒AI=KH, AK=IH.`

Ta có: `∆ABH` vuông tại `H`, `HI` là đường cao.

`⇒IH.AB=AH.HB `, thay số `2\sqrt{5}.IH=4.2`

`⇒IH=4/\sqrt{5}.`

Ta có: `∆AHC` vuông tại `H`, `HK` là đường cao.

`⇒HK.AC=AH.HC `, thay số `4\sqrt{5}.HK=4.8`

`⇒HK=8/\sqrt{5}.`

Có chu vi tam giác `AIHK` là: `AI+IH+HK+KA=2(HK+IH)=2.(4/\sqrt{5}+8/\sqrt{5})=\frac{24\sqrt{5}}{5}.`

Có diện tích tam giác `AIHK` là: `HK.IH=4/\sqrt{5} . 8/\sqrt{5}=6,4 (cm^2).`

Vậy chu vi tam giác `AIHK` là: `\frac{24\sqrt{5}}{5} cm.`

 diện tích tam giác `AIHK` là: ` 6,4 (cm^2).`

Tham khảo hình.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: