$\text { +) Nếu n = 2k (k ∈ N) thì: }$

$\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) $\vdots$ 2 }$

$\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$

$\text { +) Nếu n = 2k + 1 (k ∈ N) thì: }$

$\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 5)(2k + 8) = (2k + 5)2(k + 4) $\vdots$ 2 }$

$\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$

$\text { Vậy ∀ n ∈ N thì: (n + 4)(n + 7) là số chẵn }$

Cách chứng minh tổng quát:

Ta có: `(n+4).(n+7)`

Vì `n∈N`, ta xét hai trường hợp: 

`TH_1:` `n` là một số tự nhiên chẵn, `n` có dạng `2k (k∈N).`, thay `2k=n` vào biểu thức ta có:

`(n+4).(n+7)`

`=(2k+4).(n+7)`

`=2(k+2).(n+7).`

Có: `2 ⋮ 2 ⇒ 2(k+2).(n+7)⋮ 2 `

Vậy với `TH_1`, `n` là số tự nhiên chẵn, ta có: `2(k+2).(n+7)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

`TH_2:` `n` là một số tự nhiên lẻ, `n` có dạng `2k + 1 (k∈N).`, thay `2k+1=n` vào biểu thức ta có:

`(n+4).(n+7)`

`=(n+4)(2k+1+7)`

`=(n+4)(2k+8)`

`=(n+4).2.(k+4).`

Có: `2 ⋮ 2 ⇒ (n+4).2.(k+4)⋮ 2 `

Vậy với `TH_2`, `n` là số tự nhiên lẻ, ta có: `(n+4).2.(k+4)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

Cách khác:

Ta thấy `n` là số tự nhiên thì `n` xảy ra hai trường hợp.

`1)` `n` là một số chẵn, thì (n+4) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+4)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

`2)` `n` là một số lẻ, thì (n+7) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+7)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

Ghi chú: một số chẵn + một số chẵn = một số chẵn.

một số lẻ + một số lẻ = một số chẵn.

Điều kiện số đó là số tự nhiên.