a) Ta có: $SA, SB$ là các tiếp tuyến và $A, B$ là các tiếp điểm của $(O)$

$\Rightarrow SA = SB$

mà $OA = OB = R$

$\Rightarrow SO$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow SO\perp AB$

Áp dụng hệ thức lượng vào $∆AOS$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$OH.SH = AH^{2} = AH.AH$

mà $AH = HB$

nên $OH.SH = AH.HB$

b) Do $I$ là trung điểm của dây cung $CD$

$\Rightarrow OI\perp CD$

$\Rightarrow \widehat{OIS} = 90^o$

Xét tứ giác $OIBS$ có:

$\widehat{OIS} = \widehat{OBS} = 90^o$

$\widehat{OIS}$ và  $\widehat{OBS}$ cùng nhìn cạnh $OS$

Do đó $OIBS$ nội tiếp

$\Rightarrow O, I, B, S$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $OS$ $(1)$

Xét tứ giác $OISA$ có:

$\widehat{OIS} + \widehat{OAS} = 180^o$

và $\widehat{OIS} = \widehat{OAS} = 90^o$

Do đó $OISA$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow O, I, S, A$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $OS$ $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow  A, O, I, B, S$ cùng thuộc một đường tròn

c) Áp dụng hệ thức lượng vào $∆BOS$ vuông tại $B$ đường cao $BH$ ta được:

 $SB^{2} = SH.SO$ $(3)$

Xét $∆SCB$ và $∆SBD$ có:

$\widehat{BSD}:$ góc chung

$\widehat{SBC} = \widehat{SDB}$ (cùng chắn $\overparen{BC}$)

Do đó $∆SCB\sim ∆SBD \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{SC}{SB} = \dfrac{SB}{SD}$

hay $SB^{2} = SC.SD$ $(4)$

Từ $(3)(4) \Rightarrow SH.SO = SC.SD$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: