Trả lời :

a) E là trung điểm HC, AH = AD 

=> DE, CA lần lượt là trung tuyến ΔDHC

Có : DE ∩ AC = {F} => F là trọng tâm ΔDHC

Mà M là trung điểm DC => HM là trung tuyến ΔDHC

=> H, F, M thẳng hàng

b) Xét ΔHDC vuông tại H có trung tuyến HM

=> HM = 1/2DC

Lại có F là trọng tâm ΔDHC

=> HF = 2/3HM

=> HF = 2/3.1/2DC = 1/3DC

c) Ta có : 

P : trung điểm AH

E : trung diểm HC

=> EP là đường trung bình ΔHAC

=> EP // AC (t/c đường trung bình Δ)

Mặt khác AB ⊥ AC => EP ⊥ AB

d) * Nối AE

Xét ΔBAE có các đường cao AH, EP giao nhau tại P

=> P là trực tâm ΔBAE => BP ⊥ AE

Ta có :

AD = AH (gt)

E : trung điểm HC

=> AE là đường trung bình ΔHDC

=> AE // DC (t/c đường trung bình Δ)

Kết hợp BP ⊥ AE (cmt) => BP ⊥ DC

* Xét ΔBCD có các đường cao BP, DH giao nhau tại P

=> P là trực tâm ΔBCD

=> CP ⊥ DB