Đáp án:

a) $\triangle AIB=\triangle AIC$

b) $AI\bot BC, AI=8cm$

c) Khi $\widehat{BAC}=120^o$ thì $\triangle IMN$ là tam giác đều

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AIB$ và $\triangle AIC$:

$AB=AC$ (gt)

$AI$: chung

$IB=IC$ (gt)

$\to\triangle AIB=\triangle AIC$ (c.c.c)

b)

$\triangle AIB=\triangle AIC$ (cmt)

$\to\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o$ (kề bù)

$\to\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$

$\to AI\bot BC$

Ta có: $IB=IC=\dfrac{1}{2}BC=6(cm)$

$\triangle AIB$ vuông tại I:

$AI^2+IB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AI=\sqrt{AB^2-IB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(cm)$

c)

$\triangle AIB=\triangle AIC$ (cmt)

$\to\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (2 góc tương ứng)

$\to\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=\dfrac{120^o}{2}=60^o$

Xét $\triangle AMI$ và $\triangle ANI$:

$\widehat{AMI}=\widehat{ANI}\,\,\,(=90^o)$

$AI$: chung

$\widehat{MAI}=\widehat{NAI}$ (cmt)

$\to\triangle AMI=\triangle ANI$ (ch - gn)

$\to\widehat{AIM}=\widehat{AIN}$ (2 góc tương ứng)

$\to IM=IN$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle IMN$ cân tại I

$\triangle AMI$ vuông tại M:

$\widehat{MAI}+\widehat{AIM}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{AIM}=90^o-60^o=30^o=\widehat{AIN}$

$\to\widehat{MIN}=\widehat{AIM}+\widehat{AIN}=30^o+30^o=60^o$

Mà $\triangle IMN$ cân tại I (cmt)

$\to\triangle IMN$ đều