Bài `1:`

`a) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)- 24`

`=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24`

`=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24`

Đặt `x^2+5x+5=y.`

`⇒ (y-1)(y+1) - 24`

`= y^2 - 1 - 24`

`=y^2 -25`

`=(y+5)(y-5)`

Thay `y=x^2+5x+5` vào lại biểu thức, ta được:

`(x^2+5x+5+5)(x^2+5x-5)`

`=(x^2+5x+10)(x^2+5x)`

`=(x^2+5x+10)x(x+5).`

`b) x^4+4`

`=(x^2)^2+2.x^2. 2+2^2-2.x^2. 2`

`=(x^2+2)^2-4x^2`

`=(x^2+2)^2-(2x)^2`

`=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x).`

Bài 2:

`1)(\frac{x+3}{x-2})^2+6(\frac{x-3}{x+2})^2=7(\frac{x^2-9}{x^2-4})`

`⇔(\frac{x+3}{x-2})^2+6(\frac{x-3}{x+2})^2=7[\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}]`

`⇔(\frac{x+3}{x-2})^2+6(\frac{x-3}{x+2})^2=7. \frac{x+3}{x-2} . \frac{x-3}{x+2} `

`⇔(\frac{x+3}{x-2})^2+6(\frac{x-3}{x+2})^2-7. \frac{x+3}{x-2} . \frac{x-3}{x+2} = 0`

`ĐKXĐ: x\ne±3, x\ne±2. `

Đặt `\frac{x+3}{x-2}=x, \frac{x-3}{x+2}=y`, phương trình trở thành:

`x^2+6y^2-7xy=0`

`⇔x^2+6y^2-xy-6xy=0`

`⇔x^2+6y^2-xy-6xy=0`

`⇔(x^2-xy)+(6y^2-6xy)=0`

`⇔x(x-y)+6y(y-x)=0`

`⇔x(x-y)-6y(x-y)=0`

`⇔(x-y)(x-6y)=0`

`⇒` \(\left[ \begin{array}{l}x-y=0\\x-6y=0\end{array} \right.\) 

`⇒` \(\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=6y\end{array} \right.\) 

Ta có hai trường hợp:

`1) x=y ⇔ \frac{x+3}{x-2} = \frac{x-3}{x+2}`

`⇔ (x+3)(x+2)=(x-2)(x-3)`

`⇔ x^2+5x+6=x^2-5x+6`

`⇔ x^2+5x+6-x^2+5x-6=0`

`⇔10x=0`

`⇔x=0.` (TMĐK).

`2) x=6y ⇔ \frac{x+3}{x-2} = 6. \frac{x-3}{x+2}`

`⇔\frac{x+3}{x-2} =  \frac{6(x-3)}{x+2}`

`⇔ (x+3)(x+2)=(x-2)(x-3).6`

`⇔ x^2+5x+6=(x^2-5x+6).6`

`⇔ x^2+5x+6=6x^2-30x+36`

`⇔ x^2+5x+6-6x^2+30x-36=0`

`⇔ -5x^2+35x-30=0`

`⇔(-5)(x^2-7x+6)=0`

`⇔ x^2-7x+6=0`

`⇔ x^2-x-6x+6=0`

`⇔ x(x-1)-6(x-1)=0`

`⇔ (x-1)(x-6)=0`

`⇒` \(\left[ \begin{array}{l}x-1=0\\x-6=0\end{array} \right.\) 

`⇒` \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=6\end{array} \right.\) 

Ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: `S={0; 1; 6}.`

`2) x^2+y^2+5x^2y^2+60=37xy`

`⇔ x^2-2xy+y^2 = - 5x^2y^2 + 35xy -60 `

`⇔(x-y)^2 = 5 ( -x^2y^2+35xy-60)`

`⇔(x-y)^2 = 5 ( -x^2y^2+7xy-12)`

`⇔(x-y)^2 = 5 ( -x^2y^2+3xy+4xy-12)`

`⇔(x-y)^2 = 5 [-xy(xy-3)+4(xy-3)]`

`⇔(x-y)^2 = 5 (xy-3)(4-xy)`

Ta thấy: `(x-y)^2 \ge0 ⇒ 5 (xy-3)(4-xy) \ge0 ⇔ (xy-3)(4-xy) \ge0`

Giải Bất phương trình: `(xy-3)(4-xy) \ge0`

`+) xy-3 \ge0  , 4-xy \ge0 ⇔ 4\ge x \ge  3` 

`+) xy-3 \le0  , 4-xy \le0 ⇔ 4\le x \le  3` ( vô lí. )

Vì  `x, y ∈ ZZ => xy ∈ ZZ => xy = 3` và ` xy = 4.`

Trường hợp `1`: `xy=3`

`⇔(x-y)^2 = 5 (3-3)(4-3)`

`⇔(x-y)^2 =0`

`⇔x-y=0`

`⇔x=y`

`⇒x^2=y^2=3` ( loại vì `x, y ∉ ZZ`) 

Trường hợp `2`: `xy=4`

`⇔(x-y)^2 = 5 (4-3)(4-4)`

`⇔(x-y)^2 =0`

`⇔x-y=0`

`⇔x=y`

`⇒x^2=y^2=4`

`⇒x=y=±2.` ( thỏa `x, y ∈ ZZ`) 

Vậy ta có cặp `(x,y)` thỏa mãn: `(2,2); (-2;-2).`