Gọi M là giao điểm của tia $Ax$ và $BC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BEM$.

1) Ta có:

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BEM$ nên $EI$ và $MI$ lần lượt là phân giác $\widehat {BEM};\widehat {BME}$ (1)

Lại có: 

$\widehat {MAC} = \widehat {DAC} = \widehat {MCA}\left( {AD//BC} \right)$

$ \Rightarrow \Delta MAC$ cân tại M.

Mà $O$ là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$.

$\to MO$ là phân giác $\widehat{AMC}$ (2)

Từ (1), (2) $\to \widehat{OMI}=90^0$ (do $\widehat{BME}; \widehat{AMC}$ kề bù)

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {OIE} = \widehat {EBI} + \widehat {BEI}\\
\widehat {OME} = \dfrac{{\widehat {EMC}}}{2} = \dfrac{{\widehat {EBM} + \widehat {BEM}}}{2} = \widehat {EBI} + \widehat {BEI}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \widehat {OIE} = \widehat {OME}
\end{array}$

$\to OEIM$ nội tiếp.

$\to \widehat{OEI}+\widehat{OMI}=180^o \to \widehat{OEI}=90^o$

Mà $EI$ là phân giác $\widehat{BEM}$; $\widehat{BAM};\widehat{xEy}$ kề bù.

$\to EO$ là phân giác $\widehat{xEy}$

2) 

Từ câu 1) ta có: $\widehat {yEO} = \widehat {xEO}$

Mà: $\widehat {AEy} = \widehat {B{\rm{Ex}}}$ (2 góc đối đỉnh)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {yEO} + \widehat {AEy} = \widehat {xEO} + \widehat {B{\rm{Ex}}}\\
 \Rightarrow \widehat {AEO} = \widehat {OEB}
\end{array}$

Lại có:

Tứ giác OEIM nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {IOE} = \widehat {IME} \Rightarrow \widehat {BOE} = \widehat {IME}$

Mà $OM\perp MI=M; OM\perp AC=O\to IM//AC\to \widehat{IME}=\widehat{MAC}\to \widehat{IME}=\widehat{OAE}$

Như vậy:

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BOE} = \widehat {OAE}\\
\widehat {OEB} = \widehat {AEO}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta OEA \sim \Delta BEO\left( {g.g} \right)$

3) Ta có:

$\Delta OEA \sim \Delta BEO\left( {g.g} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EO}} = \dfrac{{OE}}{{BE}} = \dfrac{{OA}}{{BO}}\left( 3 \right)\\
 \Rightarrow EA.BE = O{E^2}\\
 \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = {\left( {\dfrac{{OE}}{{BE}}} \right)^2}\\
(3)\Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = {\left( {\dfrac{{OA}}{{BO}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{AC/2}}{{BD/2}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BD}}} \right)^2}
\end{array}$