Giải thích các bước giải:

Định lý Ceva:

Cho $\Delta ABC$ gọi $E,F,G$ là ba điểm tương ứng nằm trên $BC,CA,AB$. Ba đường thẳng $AE,BF,CG$ đồng quy tại $O$ khi và chỉ khi:

$\dfrac{GA}{GB}.\dfrac{EB}{EC}.\dfrac{FC}{FA}=1$

Chứng minh:

Phần thuận: Giả sử ba đường thẳng $AE,BF,CG$ cắt nhau tại $O$ từ $A$ và $C$ kẻ các đường thẳng song song với $BF$ cắt $CG,AE$ tại $K,I$ tương ứng.

Ta có: $\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CO}{OK},\dfrac{CI}{AK}=\dfrac{CO}{OK}$ (Thales)

$\to\dfrac{CF}{FA}=\dfrac{IC}{AK}$

Ta có: $\Delta IEC\sim\Delta OEB,\Delta AKG\sim\Delta BOG$

$\to \dfrac{BE}{CE}=\dfrac{BO}{CI}, \dfrac{AG}{BG}=\dfrac{AK}{BO}$

$\to\dfrac{GA}{GB}.\dfrac{EB}{EC}.\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{AK}{OB}.\dfrac{BO}{IC}.\dfrac{IC}{AK}=1$

Phần đảo: Giả sử ta có: $\dfrac{GA}{GB}.\dfrac{EB}{EC}.\dfrac{FC}{FA}=1$

Qua giao điểm của $AE,BF$ kẻ $CC_1, C_1\in AB\to$Áp dụng phần thuận ta có:

$\dfrac{C_1A}{C_1B}.\dfrac{EB}{EC}.\dfrac{FC}{FA}=1=\dfrac{GA}{GB}.\dfrac{EB}{EC}.\dfrac{FC}{FA}$

$\to \dfrac{C_1A}{C_1B}=\dfrac{GA}{GB}\to C_1\equiv G$

$\to đpcm$

Bài làm:

Ta có: $AO$ là phân giác $\widehat{BAC},OE\perp AB, OF\perp AC\to OE=OF, AE=AF$

Mà $\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{AC}$

Ta có: $AH\perp BC, OE\perp AB\to\widehat{BEO}=\widehat{BHA}=90^o$

Mà $\widehat{EBO}=\widehat{ABH}$

$\to\Delta BHA\sim\Delta BEO(g.g)$
$\to\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{BA}{BO}$

$\to BH.BO=BE.BA$

Tương tự $CH.CO=CF.CA$

$\to \dfrac{BH.BO}{CH.CO}=\dfrac{BE.BA}{CF.CA}$

$\to \dfrac{BH}{CH}.\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BE}{CF}$

$\to \dfrac{BH}{CH}=\dfrac{BE}{CF}$

$\to \dfrac{HB}{HC}.\dfrac{FC}{EB}=1$

$\to \dfrac{HB}{HC}.\dfrac{FC}{EB}.\dfrac{EA}{FA}=1$ vì $EA=FA$

$\to\dfrac{HB}{HC}.\dfrac{FC}{FA}.\dfrac{EA}{EB}=1$

Áp dụng định lý Ceva $\to BF,CE,AH$ đồng quy