Giải thích các bước giải:

a, Xét ΔAOE và ΔMOE có: 

AO = MO = R; AE = ME (gt); OE chung

⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c) ⇒ $\widehat{EAO}$ = $\widehat{EMO}$

⇒ $\widehat{EMO}$ = $90^{o}$

⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

b, EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$\widehat{MOF}$ = $\widehat{BOF}$

Mà $\widehat{MOE}$ = $\widehat{AOE}$ (ΔAOE = ΔMOE)

⇒ $\widehat{MOE}$ + $\widehat{MOF}$ = $\widehat{AOE}$ + $\widehat{BOF}$ = $\frac{1}{2}$. $180^{o}$ = $90^{o}$

⇒ $\widehat{EOF}$ = $90^{o}$ ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)

c, EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

⇒ EA = EM mà OA = OM

⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)

ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M

⇒ MA ⊥ MB (2)

Từ (1), (2) suy ra OE ║ MB

⇒ $\widehat{MOE}$ = $\widehat{OMB}$ (so le trong)

Mà $\widehat{OMB}$ = $\widehat{ABM}$ (ΔMOB cân tại O)

⇒ $\widehat{MOE}$ = $\widehat{ABM}$

Lại có $\widehat{EMO}$ = $\widehat{AMB}$ = $90^{o}$

⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)

⇒ $\frac{EM}{OE}$ = $\frac{AM}{AB}$ ⇒ EM.AB = AM.OE (3)

Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)

⇒ $\frac{FM}{OF}$ = $\frac{BM}{AB}$ ⇒ FM.AB = BM.OF (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm)

d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống AB

Ta thấy ΔEOF đồng dạng với ΔAMB (g.g)

⇒ $\frac{S_{AMB}}{S_{EOF}}$ = $(\frac{MH}{OM})^{2}$ = $\frac{3}{4}$ 

⇔ $\frac{MH}{OM}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ ⇔ sin$\widehat{MOH}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

⇔ $\widehat{MOH}$ = $60^{o}$

⇔ $\widehat{AEO}$ = $60^{o}$ ⇔ E nằm trên Ax sao cho AE = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$R