Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: `D` là trung điểm của `AC`

`E` là trung điểm của `BC`

`⇒ AE, BD` là các đường trung tuyến trong tam giác

`⇒ AE, BD` cũng là đường cao (tính chất `Δ` cân)

Mà `AE∩BD={M}`

`⇒ M` vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm của `ΔABC`

Có `CM∩AB={I}`

`⇒ CI \bot AB`.

`CI` là vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

`⇒ I` là trung điểm của `AB`

`⇒IA=IB=\frac{1}{2}AB=12\ cm`

Xét `ΔICB` vuông tại `I`:

`IC^2+IB^2=CB^2` (định lý Pi-ta-go)

`IC^2=15^2-12^2`

`IC^2=225-144`

`IC^2=81`

`IC=9\ cm`

Ta có: `MI=\frac{1}{3}CI` (do M là trọng tâm)

`MI=\frac{1}{3}.9`

`MI=3\ cm`

c) Xét Δ ABC có AE, BD là các đường trung tuyến 

          Có AE cắt BD tại M

⇒ M là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ CM cũng là đường trung tuyến của Δ ABC cân tại C

⇒ CM đồng thời là đường cao của Δ ABC 

⇒ CM ⊥ AB

mà CM cắt AB tại I

⇒ CI ⊥ AB
     MI ⊥ AB

hay IM ⊥ AB ( đpcm )

#) Xét Δ ABC cân tại C: có CM là đường trung tuyến, M là trọng tâm của Δ ABC và  CM cắt AB tại I

⇒ I là trung điểm của AB

⇒ IB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12 ( cm )

Ta có CI ⊥ AB ⇒ Δ CID vuông tại I

Áp dụng định lí pytago vào Δ CIB vuông tại I có

$BC^{2}$ = $CI^{2}$ + $IB^{2}$ 

⇒ CI = √81 = 9 ( cm )

mà M là trọng tâm của tam giác ABC

IM = $\frac{1}{3}$ . IC = $\frac{1}{3}$ . 9 = 3 ( cm )

d)  Trên tia đối của tia IC lấy điểm H sao cho IC = IH 

  Xét Δ AIH  và Δ CIB có 

         IH = IC

    ∠IAH = ∠CIB ( đối đỉnh )

        IA = IB

⇒ Δ AIH  = Δ CIB ( c-g-c )
⇒ AH = CB ( 2 cạnh tương ứng )

  Xét Δ ACH có: CH <  AC + AH

      mà CH = ; AH =bc

⇒ 2 . CI  <  AC + BC     (3)
  Chứng minh tương tự ta có:
         2 . AE  <  AC + AB    (4)

         2 . BD <   AB + BC    (5)

Từ (3), (4), (5) ⇒ 2 . ( CI + AE + BD )  <  2 . ( AB + AC + BC )

⇒  AB + AC + BC   >  CI + AE + BD

⇒ AB+2BC > CI+2AE (đpcm)

Hình vẽ