Giải thích các bước giải:

B1:

a) Ta có:

$D,I$ lần lượt là trung điểm $BC,AC$ nên $DI$ là đường trung bình của tam giác $\Delta ABC$

$\to DI//AB \to DI\perp AC \to DE \perp AC=I$ mà $I$ là trung điểm $AC$

$\to $ $E$ đối xứng với $D$ qua $AC$.

b) Ta có:

$ AC\perp DE=I$ mà $I$ là trung điểm $AC, DE$

$\to AECD$ là hình thoi.

c) $AECD$ là hình thoi khi và chỉ khi $\begin{array}{l}
\widehat {EDC} = {45^0} \to \widehat {IDC} = {45^0} \to \widehat {ABC} = {45^0}\\
\end{array}$

 $\to \Delta ABC$ là tam giác vuông cân.

B2:

a) Ta có:

$\widehat {BAD} = \widehat {ADH} = \widehat {BHD} = {90^0};AB = AD$

$\to ABHD$ là hình vuông.

$\to AH$ là phân giác $\widehat {BAD}$

b) Ta có:

Tam giác BHC vuông tại H và $G$ là trung điểm $BC$ 

$HG = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{\sqrt {B{H^2} + C{H^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}{2} = \dfrac{5}{2}$

Gọi E là giao điểm của $AH,BD$ $\to E$ là trung điểm $AH,BD$

Ta có:

$F,E$ lần lượt là trung điểm $AD,AH$ $\to FE$ là đường trung bình tam giác ADH

$\to FE//DH$(1)

$F,G$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$ $\to FG$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ $\to FG//CD$(2)

Từ (1),(2) $\to F,E,G$ thẳng hàng.

$\to AH,BD,FG$ đồng quy.