a) Ta có: $AB, \, AC$ là các tiếp tuyến của $(O)$ và $B, \, C$ là các tiếp điểm $(gt)$

⇒ $AB = AC; \, OA \perp BC; \, HB = HC$

Ta lại có: $\widehat{BCD} = 90^o$ (nhìn đường kính $BD$)

⇒ $DC\perp BC$

Do đó $AO // DC$ (cùng $\perp BC$)

b) Xét $ΔBAO$ vuông tại $B$ có:

$OA = 2OB = 2R$

⇒ $ΔBAO$ là nửa tam giác đều cạnh $OA$

⇒ $\widehat{OAB} = 30^o$

Chứng minh tương tự với $ΔCAO$ ta được: $\widehat{OAC} = 30^o$

⇒ $\widehat{BAC} = 60^o$

mà $ΔBAC$ cân tại $A$ ($AB = AC$)

nên $ΔBAC$ là tam giác đều

c) Xét $ΔBAO$ vuôn tại $B$ có:

$OE = OA = R$

⇒ $BE = OE = OA = R$

⇒ $ΔBEO$ đều

Xét $ΔBEO$ đều có $BH\perp OE$ (với $H$ là giao điểm của $BC$ và $OA$)

⇒ $EH = HO = \dfrac{BE}{2} = \dfrac{AE}{2}$

hay $AE = \dfrac{2}{3}AH$

Xét $ΔABC$ có

$AE= \dfrac{2}{3}AH$

$HB = HC$

⇒ $E$ là trọng tâm của $ΔABC$

mà $ΔABC$ đều

⇒ $E$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔABC$

⇒ $EH$ là khoảng cách từ $E$ đến các cạnh

⇒ $EH = \dfrac{AE}{2} = \dfrac{R}{2}$

d) Ta có:

$S_{viên \, phân} = S_{quạt} - S_{ΔBEO}$

$= \dfrac{\pi.R^{2}.n}{360} - \dfrac{1}{2}BH.OE$

$= \dfrac{\pi.R^{2}.60}{360} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.R$

$= R^{2}(\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{4})$