a) Ta có: $\widehat{OMT} = 90^o$ (nhìn đường kính $OT$)

⇒ $OM\perp TM$

mà $OM$ là bán kính của $(O)$

nên $TM$ là tiếp tuyến của $(O)$

b) Xét $ΔTMD$ và $ΔTCM$ có:

$\widehat{MTC}:$ góc chung

$\widehat{TMD} = \widehat{TCM}$ (cùng chắn $\overparen{MD}$ của $(O)$)

Do đó $ΔTMD\sim ΔTCM \, (g.g)$

⇒ $\dfrac{TM}{TC} = \dfrac{TD}{TM}$

hay $TM^{2} = TC.TD$

c) Ta có: $\widehat{OMT} = 90^o$ (nhìn đường kính $OT$)

⇒ $ΔOMT$ vuông tại $M$

Ta lại có: $ME\perp OI$ (đường nối tâm $OI$ là trung trực của dây chung $MN$)

⇒ $ME$ là đường cao của $ΔOMT$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOMT$ vuông tại $M$, đường cao $ME$ ta được:

$TM^{2} = TE.TO$

mà $TM^{2} = TC.TD$ (câu b)

nên $TE.TO = TC.TD$

hay $\dfrac{TE}{TC} = \dfrac{TD}{TO}$

Xét $ΔTDE$ và $ΔTOC$ có:

$\dfrac{TE}{TC} = \dfrac{TD}{TO}$ $(cmt)$

$\widehat{CTO}:$ góc chung

Do đó $ΔTDE\sim ΔTOC \, (c.g.c)$ 

⇒ $\widehat{TED} = \widehat{TCO}$

Xét tứ giác $OCDE$ có:

$\widehat{TED} = \widehat{TCO}$

⇒ $OCDE$ là tứ giác nội tiếp

d) Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $(I)$

Gọi $(Q)$ là đường tròn ngoại tiếp $OCDE$

Ta có: $\widehat{OHT} = 90^o$ (nhìn đường kính $OT$)

⇒ $OH\perp HT$

hay $OH\perp CD$

mà $O, C, D \in (Q)$

⇒ $OH$ đi qua tâm của $(Q)$

Gọi $K$ là giao điểm của $OH$ và $(Q)$

⇒ $OK$ là đường kính

⇒ $\widehat{OEK} = 90^o$ (nhìn đường kính $OK$)

hay $KE\perp OE$

Ta lại có: $ME\perp OE$ ($OI\perp MN$)

⇒ $K, M, E$ thẳng hàng

Bên cạnh đó: $OK\perp CD$ và $K \in (Q)$

⇒ $K$ là điểm chính giữa $\overparen{CD}$

⇒ $\widehat{KEC} = \widehat{KED}$

hay $\widehat{MEC} = \widehat{MED} \, (đpcm)$