Bài 5:
a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A có:
$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$ (định lý Pytago)
$\Rightarrow AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=10^{2}-6^{2}=64$
$\Rightarrow AC=\sqrt{64}=8$ (cm)
Vì $AB<AC<BC (6cm<8cm<10cm)$
$\Rightarrow \widehat{ACB}<\widehat{ABC}<\widehat{BAC}$ (quan hệ giữa cạnh cạnh và góc đối diện trong tam giác)
b) Xét $\Delta BCA$ và $\Delta DCA$ có:
$BA=AD$ (gt)
$\widehat{CAB}=\widehat{CAD}(=90^{0})$
AC chung
$\Rightarrow \Delta BCA=\Delta DCA$ (c.g.c)
$\Rightarrow CB=CD$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta CBD$ cân tại C
c) Ta có: $CK\cap DK=M$
mà CA, DK là các đường trung tuyến của $\Delta BDC$ (A là trung điểm của BD; K là trung điểm của BC)
$\Rightarrow M$ là trọng tâm của $\Delta BDC$ (1)
$\Rightarrow CM=\frac{2}{3}CA$
$\Rightarrow CM=\frac{2}{3}.8=\frac{16}{3}\approx 5,33$ (cm)
d) Gọi E là giao điểm của d và AC, F là hình chiếu của D trên d
$\Rightarrow AE//DF,AD//FE$
Xét $\Delta ADF$ và $\Delta AEF$ có:
$\widehat{DAF}=\widehat{EFA}$ (so le trong)
AF chung
$\widehat{EAF}=\widehat{DFA}$ (so le trong)
$\Rightarrow \Delta ADF=\Delta AEF$ (g.c.g)
$\Rightarrow DF=EA$ (hai cạnh tương ứng)
mà $EA=EC$ (d là trung trực của AC)
$\Rightarrow DF=EC $
Xét $\Delta CQE$ và $\Delta DQF$ có:
$\widehat{EFD}=\widehat{FEC} (=90^{0})$
$DF=EC$ (cmt)
$\widehat{FDQ}=\widehat{ECQ}$ (so le trong)
$\Rightarrow \Delta CQE=\Delta DQF$ (g.c.g)
$\Rightarrow CQ=DQ$
$\Rightarrow BQ$ là đường trung tuyến của $\Delta BDC$ (2)
(1)(2)$\Rightarrow B,M,Q$ thẳng hàng
Bài 6:
a) Xét $\Delta DEF$ vuông tại D có:
$DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}$ (định lý Pytago)
$\Rightarrow DF^{2}=EF^{2}-DE^{2}=5^{2}-3^{2}=16$
$\Rightarrow DF=\sqrt{16}=4$ (cm)
Vì $DE<DF<EF (3cm<4cm<5cm)$
$\Rightarrow \widehat{F}<\widehat{E}<\widehat{D}$ (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)
b) Xét $\Delta DFE$ và $\Delta DFK$ có:
$DE=DK$ (gt)
$\widehat{FDE}=\widehat{FDK}(=90^{0})$
DF chung
$\Rightarrow \Delta DFE=\Delta DFK$ (c.g.c)
$\Rightarrow FE=FK$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta FKE$ cân tại F
c) $FD\cap KI=G$
mà FD, KI là đường trung tuyến của $\Delta KEF$ (D là trung điểm của KE, I là trung điểm của EF)
$\Rightarrow G$ là tọng tâm của $\Delta KEF$ (1)
$\Rightarrow FG=\frac{2}{3}FD=\frac{2}{3}.4=\frac{8}{3}\approx 2,67$ (cm)
d) Gọi P là giao điểm của d và DF, N là hình chiếu của K trên d
$\Rightarrow KN//DP,DK//PN$
Xét $\Delta DKN$ và $\Delta NPD$ có:
$\widehat{KND}=\widehat{PDN}$ (so le trong)
DN chung
$\widehat{DKN}=\widehat{PND}$ (so le trong)
$\Rightarrow \Delta DKN=\Delta NPD$ (g.c.g)
$\Rightarrow KN=DP$ 
mà $DP=PF$
$\Rightarrow KN=PF$
Xét $\Delta PFM$ và $\Delta NKM$ có:
$\widehat{MNK}=\widehat{MPF} (=90^{0})$
$KN=DP$ (cmt)
$\widehat{NKM}=\widehat{MPF}$ (so le trong)
$\Rightarrow \Delta PFM=\Delta NKM$ (g.c.g)
$\Rightarrow KM=FM$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow EM$ là đường trung tuyến của \Delta KEF (2)
(1)(2)$\Rightarrow E,G,M thẳng hàng