Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) để 8a+19/4a+1 có giá trị nguyên thì 8a+19 phải chia hết cho 4a+1  (1)

mà 4a+1 chia hết cho 4a+1 => 8a+2 chia hết cho 4a+1   (2)

=> (8a+19)-(8a+2) chia hết cho 4a+1

=> 8a+19-8a-2 chia hết cho 4a+1

=> 17 chia hết cho 4a+1

=>4a+1 thuộc ước của 17 ={ -17;-1;1;17}

TH1 4a+1=-1

=> 4a=-2 => a=4/2(loại)

TH2 4a+1=1

=> 4a=0

=>a=0 (chọn)

TH3 4a+1=17

=> 4a=16

=> a=4 (chọn)

TH4 4a+1=-17

=>4a=-18

=> a=-9/2 (loại)

Vậy.....

b) để 5a-17/4a-23 có giá trị lớn nhất thì 4a-23 phải nhỏ nhất ( 4a-23 khác 0)

=> 4a-23=1

<=> 4a=23+1=24

=>a=6

vậy a=6 thì 5a-17/4a-23 đại giá trị lớn nhất

a) Để $\frac{8a + 19}{4a + 1}$ ∈ Z 

    thì: 8a + 19 $\vdots$ 4a + 1

    mà 2 . ( 4a + 1 ) $\vdots$ 4a + 1

    nên: ( 8a + 19 ) - 2 . ( 4a + 1 ) $\vdots$ 4a + 1

        ⇒ 8a + 19 - 8a - 2 $\vdots$ 4a + 1

        ⇒     17 $\vdots$ 4a + 1

   mà a ∈ N

        ⇒      4a + 1 ∈ Ư(17) = {1;17}

        ⇒          4a ∈ {0;16}

        ⇒            a ∈ {0;4}

Vậy $\frac{8a + 19}{4a + 1}$ ∈ Z  khi a ∈ {0;4}  

b)  Ta có:  $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ = $\frac{\frac{5}{4} . (4a - 23) + \frac{47}{4} }{4a - 23}$ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{\frac{47}{4}}{4a - 23}$ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{47}{4.(4a - 23)}$ 

 Để  $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{47}{4.(4a - 23)}$ đạt giá trị lớn nhất

+) Nếu 4 . (4a - 23) < 0 thì: $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ < 0  (loại)

+) Nếu 4 . (4a - 23) > 0 thì: 4a - 23 > 0

                                  ⇒    4a > 23

                                  ⇒      a > 5

$\frac{47}{4.(4a - 23)}$ đạt giá trị lớn nhất ⇔ 4 . (4a - 23) là số nguyên dương nhỏ nhất

⇔ 4a - 23 là số nguyên dương nhỏ nhất

⇔ 4a - 23 = 1

⇔        4a = 24

⇔          a = 6  (thỏa mãn điều kiện a > 5)

Khi đó, $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ = $\frac{5.6-17}{4.6 - 23}$ = 13

Vậy Max $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ = 13  ⇔ a = 6