Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CD\perp AB=O, OA=OC\to\Delta OAC$ vuông cân tại $O$ 

$\to AC=OA\sqrt2=R\sqrt2$

$\to AE=AC$

$\to\Delta ACE$ cân tại $A$

$\to \widehat{ACE}=\widehat{AEC}$

$\to \widehat{DCF}+\widehat{OCA}=\widehat{ECB}+\widehat{CBE}$

$\to \widehat{DCF}+45^o=\widehat{ECB}+45^o$

$\to \widehat{DCF}=\widehat{ECB}$

$\to CE$ là phân giác $\widehat{OCB}$

$\to CF$ là phân giác $\widehat{BCD}$

b.Ta có $CF$ là phân giác $\widehat{BCD}$

$\to F$ nằm giữa $B,D$

$\to OF\perp BD$

Vì $CD\perp AB=O$ là trung điểm mỗi đường và $CD=AB=2R\to ACBD$ là hình vuông 

$\to AC//BD$

$\to OF\perp AC$

Mà $MF$ là tiếp tuyến của $(O)\to MF\perp OF$

$\to MF//AC$

c.Ta có: $F$ nằm giữa cung $BD\to \widehat{FOD}=\widehat{FOB}$

$\to OF$ là phân giác $\widehat{BOD}$

$\to \widehat{FOM}=\dfrac12\widehat{DOB}=45^o$

Mà $OF\perp FM$

$\to\Delta OFM$ vuông cân tại $F$

$\to MF=OF$

Mặt khác $FM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{NFM}=\widehat{AFM}=\widehat{ACF}=\widehat{ACD}+\widehat{DCF}=\widehat{CFA}+\widehat{NCF}=\widehat{FNM}$

$\to\Delta MNF$ cân tại $M\to MN=MF$

Ta có:

$OM^2=OF^2+FM^2=OD^2+MN^2$

$\to MN, OD, OM$ là độ dài $3$ cạnh của một tam giác vuông