Đáp án: $D$

Giải thích các bước giải:

Gọi $Q(x,y)$

Ta có: $(C)$ có tâm $I(2;3)$

Nhận xét: Để $d(Q,\Delta) \max \to Q$ có vị trí như trên hình.

Khi đó:

$Q$ thuộc đường thẳng $(d)$ đi qua $I$ và $d\perp \Delta $

Ta có:

$d$ nhận $\vec{n}=\vec{u}_{\Delta}=(1;1)$ làm pháp tuyến.

$\to d: 1(x-2)+1(y-3)=0$ hay $d: x+y-5=0$

Khi đó: Tọa độ của $Q$ thỏa mãn hệ:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 5 = 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - y + 5\\
{\left( { - y + 5 - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - y + 5\\
2{\left( {y - 3} \right)^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - y + 5\\
\left[ \begin{array}{l}
y - 3 = 1\\
y - 3 =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 4;x = 1\\
y = 2;x = 3
\end{array} \right.
\end{array}\]

$\to Q(1;4)$ hoặc $Q(3;2)$

Dựa vào hình vẽ $\to Q(1;4)$  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Khi đó: $\alpha ^2+\beta ^2=x^2+y^2=1^2+4^2=17$

Vậy $\alpha ^2+\beta ^2=17$