TL:

$\text { 17.2 }$)

$\text { Vì p là 1 số nguyên tố nên: xét 3 trường hợp: }$

$\text { +) Trường hợp 1: p = 2 }$

$\text { Ta có: p + 4 = 2 + 4 = 6 }$

$\text { Vì 6 $\vdots$ 3 và 6 > 3 nên: 6 là hợp số }$

                                    $\text { ⇒ p + 4 là hợp số (không thỏa mãn) }$

$\text { Vậy loại trường hợp này }$

$\text { +) Trường hợp 2: p = 3 }$

$\text { Ta có: p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố }$

             $\text { p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố }$

             $\text { p + 14 = 3 + 14 = 17 là số nguyên tố }$

$\text { Vậy chọn trương hợp này }$

$\text { +) Trường hợp 3: p > 3 }$

$\text { Vì p > 3 và p là số nguyên tố nên p có dạng: 3k +1 hoặc 3k + 2  (k ∈ N) }$

$\text { - Nếu p = 3k + 1 (k ∈ N) }$

    $\text { thì ta có: p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) $\vdots$ 3  }$

    $\text { hay: p  + 14 $\vdots$ 3 mà dễ thấy, p + 14 > 3 }$

    $\text { ⇒ p + 14 là hợp số (loại) }$

$\text { - Nếu p = 3k + 2 (k ∈ N) }$

    $\text { thì ta có: p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) $\vdots$ 3 }$

    $\text { hay p + 10 $\vdots$ 3 mà dễ thấy: p + 10 > 3 }$

    $\text { ⇒ p + 10 là hợp số (loại) }$

$\text { Như vậy, loại trường hợp này }$

$\text { Vậy p + 4; p + 10; p + 14 là các số nguyên tố ⇔ p = 3 }$

$\text { 17.3 }$)

$\text { Ta có: 1 + 3 + 5 + .... + (2n + 1) = 169 }$

$\text { Ta thấy: tổng trên là một tổng gồm các số hạng lẻ liên tiếp nhau, theo thứ tự tăng dần }$

$\text { ⇒ Số số hạng của tổng là:  $\frac{2n + 1-1}{2}$ + 1 = n + 1 }$

$\text { ⇒ 1 + 3 + 5 + ... + (2n +1) = $\frac{(2n + 1 + 1)(n + 1)}{2}$ }$

                                          $\text { = $\frac{(2n + 2)(n+1)}{2}$ }$

                                          $\text { = $\frac{2(n + 1)(n + 1)}{2}$ }$

                                          $\text { = (n + 1)(n + 1) }$

                                          $\text { = (n + 1)² }$

$\text { Theo bài ra, (n + 1)² = 169 }$

$\text { ⇒ n + 1 = 13 }$

$\text { ⇒ n = 13 - 1 }$

$\text { ⇒ n = 12 }$

$\text { Vậy n = 12 }$