Đáp án:

`a,`

\(∆ABC\) cân tại \(A\)

`->`  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)   `(1) `

Có: `\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) `(2` góc kề bù`)`  `(2)`

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) `(2` góc kề bù`) `  `(3)`

`(1)(2)(3) ->` \( \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét \(∆ABM \) và \(∆ACN \) có:

\(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) `(cmt)`

\(BM = CN\) $(gt)$

`->` \(  ∆ABM = ∆ACN\) `(c.g.c)`

`->` \(\widehat M = \widehat N\) `(2` góc tương ứng`)`

`->` \(∆AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`b,`

Xét `2` tam giác vuông \(BHM\) vuông tại \(H\) và \(CKN\) vuông tại \(K\) có :

\(BM = CN\) $(gt)$

\(\widehat M = \widehat N\) `(cmt)`

`->`\( ∆BHM  = ∆CKN\) `(ch.gn)`

`->` `BH = CK` `(2` cạnh tương ứng `)`

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`c,`

Do: \(∆AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)

`-> AM = AN`

Do: `ΔBHM=ΔCKN`

`-> HM = KN` `(2` cạnh tương ứng `)`

`-> AH=AM-HM=AN-KN=AK`

`-> AH = AK`

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`d,`

\(∆BHM = ∆CKN\)

`->` \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) `(2` góc tương ứng`)`

nà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) `(2` góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) `(2` góc đối đỉnh)

`->` \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy \(∆OBC\) là tam giác cân tại \(O.\)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`e,`

`∆ABC` cân tại `A` có `\hat {BAC} = 60^o`

`->`  `∆ABC` đều

`-> AB = BC = AC`

mà: `BM = CN = BC` $(gt)$

`-> AB = BC = AC = BM = CN. `

Do: $\Delta ABC$ đều nên $\widehat {B_1} = \widehat {C_1} = {60^o}$

Có $\widehat {B_1}$ là góc ngoài tại đỉnh $B $ của $\Delta ABM$

`->` $ \widehat M + \widehat {BAM}=\widehat {B_1}=60^0$ (***)

Do: `AB = BM` `(cmt)`

`-> ∆ABM` cân tại `B`

`->` $\widehat M = \widehat {BAM}$

Kết hợp với (***) `->` $\widehat M = \widehat {BAM}= \dfrac{60^0}{2}= {30^o} .$

Lại có $\Delta AMN$ cân tại `A` (câu a)

`->` $\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}$

Xét $\Delta AMN$ ta có:

$\widehat {MAN} +{\widehat {AMN} + \widehat {ANM}}= {180^o} $

`->`$ \widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) = {180^o} - ({30^o+30^0}) = {120^o}$

`∆AMN` có $\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.$

`∆BHM` vuông tại `H` có: $\widehat M = {30^o}$ nên $\widehat {{B_2}} =90^0-\widehat M= 90^0-30^0={60^o}$ `(`tổng `2` góc nhọn của tam giác vuông bằng `90^0)`

`->` $\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}} = {60^o} $ `(2` góc đối đỉnh`)`

`∆OBC` cân  có $\widehat {{B_3}} = {60^o} $ `->` $∆OBC$ đều.

`#dariana`