Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB,AC\perp OC$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA$

Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB=AC, AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{ABI}=\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\to BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

b.Ta có $AE\perp BD, AF\perp DC, AM\perp BC$ vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to AEBM, AMCF$ nội tiếp

$\to\widehat{EAM}=\widehat{DBC}=\dfrac12\widehat{DOC}=\dfrac12(180^o-2\widehat{OCD})=90^o-\widehat{OCD}=\widehat{ACF} (AC\perp OC)=\widehat{AMF}$

$\to AE//FM$

Mà $AE\perp DB\to FM\perp BD\to FM\perp DE$

Tương tự $EM\perp DF$

$\to M$ là trực tâm $\Delta EDF\to DM\perp EF$

c.Ta có $ABOC$ nội tiếp

$\to \widehat{BAM}=\widehat{MCO},\widehat{MBA}=\widehat{MOC}$

$\to\Delta MAB\sim\Delta MCO(g.g)$

$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MO}\to MA.MO=MB.MC$

Ta có $\widehat{KCM}=\widehat{MDB}$ (góc nội tiếp chắn cung BK0

         $\widehat{BMD}=\widehat{KMC}$ (đối đỉnh)
$\to\Delta MBD\sim\Delta MKC(g.g)$

$\to\dfrac{MB}{MK}=\dfrac{MD}{MC}$

$\to MB.MC=MK.MD$

$\to MD.MK=MA.MO$

$\to \dfrac{MK}{MO}=\dfrac{MA}{MD}$

Kết hợp $\widehat{AMK}=\widehat{DMO}$ (đối đỉnh)
$\to \Delta MKA\sim\Delta MOD(c.g.c)$

$\to\widehat{AKM}=\widehat{MOD}=\widehat{IOD}=2\widehat{IKD}$

$\to KI$ là phân giác $\widehat{AKM}$