Giải thích các bước giải:

1.Vì $MA$ là tiếp tuyến của (O)

$\to \widehat{MAN}=\widehat{MPA}$

$\to\Delta MAN\sim\Delta MPA(g.g)$

$\to\dfrac{MA}{MP}=\dfrac{MN}{MA}\to MA^2=MN.MP$

Do $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)

$\to MO\perp AB=H$

Mà $MA\perp OA\to MA^2=MH.MO$

$\to MH.MO=MN.MP$

2.Vì $K$ là trung điểm $NP\to OK\perp NP$

$\to\widehat{EKF}=\widehat{MHF}=90^o$

$\to \Diamond MEKH$ nội tiếp

$\to\widehat{KEH}=\widehat{KMH}$

$\to\widehat{OEH}=\widehat{FMH}$

Mà $\widehat{EHO}=\widehat{MHF}=90^o$

$\to \Delta EHO\sim\Delta MHF(g.g)$

$\to \dfrac{HO}{HF}=\dfrac{HE}{MH}$

$\to HE.HF=HO.HM=HA^2=(\dfrac12AB)^2=\dfrac14AB^2$ vì $MA\perp OA, AH\perp MO$

$\to AB^2=4HE.HF$

3.Ta có $\widehat{EHO}=\widehat{MKO}=90^o$

$\to\Delta OEH\sim\Delta OMK(g.g)$

$\to \dfrac{OE}{OM}=\dfrac{OH}{OK}$

$\to OE.OK=OM.OH=OA^2=R^2=ON^2$

$\to \dfrac{OE}{ON}=\dfrac{ON}{OK}$

$\to \Delta ONK\sim\Delta OEN(g.g)$

$\to\widehat{ONE}=\widehat{OKN}=90^o$

$\to EN$ là tiếp tuyến của (O)

Tương tự chứng minh được $EP$ là tiếp tuyến của (O)

4.Sửa đề: Gọi $MO\cap (O)=I\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MAB$

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)

$\to MO$ là đường phân giác $\widehat{AMB}\to MI$ là đường phân giác $\widehat{AMB}$

Lại có $\widehat{MAI}=\widehat{IBA}=\widehat{IAB}$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{MAB}$

$\to I$ là giao ba đường phân giác $\Delta MAB$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MAB$

5.Chứng minh $AE.BF=AF.BE$

Ta có : $\widehat{EKF}=\widehat{FHM}=90^o,\widehat{EFK}=\widehat{MFH}$

$\to\Delta FEK\sim\Delta FMH(g.g)$

$\to\dfrac{FE}{FM}=\dfrac{FK}{FH}\to FE.FH=FK.FM$

Ta có $\widehat{MAO}=\widehat{MKO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to M,A,K,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{KAF}=\widehat{KAB}=\widehat{KMB}=\widehat{FMB}$

Mà $\widehat{AFK}=\widehat{MFB}$

$\to\Delta FAK\sim\Delta FMB(g.g)$

$\to\dfrac{FA}{FM}=\dfrac{FK}{FB}$

$\to FA.FB=FM.FK$

$\to FA.FB=FE.FH$

$\to \dfrac{AF}{FH}=\dfrac{FE}{FB}=\dfrac{FE-FA}{FB-FH}=\dfrac{AE}{BH}$

$\to AE.BF=EF.BH$

Lại có:

$FA.FB=FH.FE$

$\to \dfrac{FB}{FH}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{FB+FE}{FH+FA}=\dfrac{BE}{AH}=\dfrac{BE}{BH}$

$\to EF.BH=BE.AF$

$\to AE.BF=BE.AF$