Giải thích các bước giải:

a.Vì $MB,MC$ là tiếp tuyến của $(O)\to MO\perp BC=H\to H$ là trung điểm $BC$

Vì $MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MB\perp OB$

Mà $OM\perp BC\to BH\perp OM\to MB^2=MH.MO$

Vì $MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{MBE}=\widehat{MFB}$

Mà $\widehat{BME}=\widehat{FMB}$

$\to\Delta MBE\sim\Delta MFB(g.g)$

$\to\dfrac{MB}{MF}=\dfrac{ME}{MB}$

$\to MB^2=ME.MF$

$\to ME.MF=MH.MO$

b.Ta có $AC//EF\to\widehat{AFE}=180^o-\widehat{FAC}=\widehat{FEC}$

$\to\Diamond ACEF$ là hình thang cân

$\to AF=CE$

$\to \widehat{BKM}=\widehat{KFB}+\widehat{FBK}=\widehat{BCE}+\widehat{EFC}=\widehat{BCE}+\widehat{ECM}=\widehat{BCM}$

$\to BKCM$ nội tiếp

Mà $OB\perp BM,MC\perp OC\to OBMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OM$

$\to B,K,O,C,M\in$ đường tròn đường kính $OM$

c.Ta có $NP$ là đường kính của $(O)\to PQ\perp QN$

Ta có : $\widehat{BPI}=\widehat{ICQ},\widehat{PIB}=\widehat{CIQ}$

$\to\Delta BPI\sim\Delta QCI(g.g)$
$\to\dfrac{BI}{QI}=\dfrac{PI}{CI}\to IB.IC=IQ.IP$

Lại có $\widehat{IKB}=\widehat{ICM},\widehat{IBK}=\widehat{IMC}$

$\to\Delta IBK\sim\Delta IMC(g.g)$
$\to\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{IK}{IC}$

$\to IB.IC=IM.IK$

$\to IK.IM=IP.IQ$

$\to \dfrac{IK}{IQ}=\dfrac{IP}{IM}$

Mà $\widehat{PIK}=\widehat{MIQ}$

$\to\Delta IPK\sim\Delta IMQ(c.g.c)$

$\to\widehat{IQM}=\widehat{IKP}=180^o-\widehat{IKO}=180^o-\widehat{MKO}=180^o-\widehat{MBO}=90^o$

$\to IQ\perp QM\to PQ\perp QM$

Mà $PQ\perp QN\to M,Q,N$ thẳng hàng