A= $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ +...+ $\frac{1}{99.100}$  

= $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ +$\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ +...+ $\frac{1}{99}$ - $\frac{1}{100}$  

= $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{100}$

= $\frac{100}{100}$ - $\frac{1}{100}$

= $\frac{99}{100}$

B= $\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$ + $\frac{1}{7.9}$ +...$\frac{1}{99.101}$

= $\frac{1}{2}$ . $2$. ($\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$ + $\frac{1}{7.9}$ +...+$\frac{1}{99.101}$)

= $\frac{1}{2}$ . ($\frac{2}{3.5}$ + $\frac{2}{5.7}$ + $\frac{2}{7.9}$ +...+$\frac{2}{99.101}$) 

= $\frac{1}{2}$ . ($\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ - $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ - $\frac{1}{9}$ +...+$\frac{1}{99}$ - $\frac{1}{101}$)

= $\frac{1}{2}$ . ($\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{101}$)

= $\frac{1}{2}$ . ($\frac{101}{303}$ - $\frac{3}{303}$)   

= $\frac{1}{2}$ . $\frac{98}{303}$ = $\frac{49}{303}$

Giải thích:

Trước hết bạn cần biết công thức về dạng toán Sai phân hữu hạng: $\frac{1}{n.(n+1)}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+1}$

Để biết vì sao có công thức này thì mình sẽ chứng minh nha:

Vd: C/m: $\frac{1}{n.(n+1)}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+1}$

Giải:

Ta có: $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+1}$= $\frac{1.(n+1)}{n.(n+1)}$ - $\frac{1.n}{n.(n+1)}$=  $\frac{n+1-n}{n.(n+1)}$ = $\frac{1}{n.(n+1)}$ (đpcm)

BIỂU THỨC A:

Theo công thức đó bạn áp dụng vào biểu thức A để làm bước 1, sau đó bạn thấy có hai số đối nhau [Vd: $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ có hai số đối nhau là $\frac{(-1)}{2}$ + $\frac{1}{2}$)], mà hai số đối nhau có tổng bằng 0 ⇒ còn lại số đầu và số cuối trừ nhau, cuối cùng là quy đồng rồi tính như thường.

BIỂU THỨC B:

Đầu tiên, mình sẽ giải thích bước $\frac{1}{2}$ . $2$. ($\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$ + $\frac{1}{7.9}$ +...+$\frac{1}{99.101}$)

Tính chất của dạng Sai phân hữu hạng này là Tử số và khoảng cách giữa hai số ở mẫu phải bằng tử (Vd: $\frac{2}{5.7}$  mới áp dụng được tính chất Sai phân hữu hạng, vì 5 cách 7 tới 2 đơn vị, mà tử là 2). Trong biểu thức B có: Khoảng cách giữa hai số ở mẫu là 2 mà tử là 1 ⇒ không áp dụng được tính chất sai phân hữu hạng. Vì vậy để áp dụng được tính chất này, cần thay đổi số 1 thành 2. Muốn được như thế phải áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng [ Vd: 2. ($\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$)= $2$.$\frac{1}{3.5}$ + $2$.$\frac{1}{5.7}$. Mà nếu nhân 2 thì sẽ không giữ được giá trị nên chúng ta phải nhân 1. Mà ta có: 

$1$= $\frac{1}{2}$ . $2$ ⇒ Thay 1 thành $\frac{1}{2}$ . $2$ thì sẽ áp dụng được phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Từ đó sẽ áp dụng được Sai phân hữu hạng như câu A với biểu thức trong ngoặc đơn. Cuối cùng, bạn áp dụng như biểu thức A vào các bước tiếp theo thì sẽ làm ra được đáp án.

(P/s: Cái này mình đã giải thích hết sức chi tiết và hết khả năng của mình rồi ạ! Nếu bạn không hiểu chỗ nào thì mình sẽ giải thích chỗ đó ạ!) 

Tổng quát:

$\dfrac{x}{a.b}$, với $b-a=x$ thì ta có: $\dfrac{x}{a.b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ 

Nếu $b-a\neq x$ thì biến đổi để sử dụng được điều trên (như phần B).