2)

Kẻ $BX\bot EF\,\,\,;\,\,\,CY\bot EF$

$\Rightarrow \Delta XBF\backsim\Delta YCE\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{XF}{YE}=\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{XN}{YN}=\dfrac{XN-XF}{YN-YE}=\dfrac{NF}{NE}$

Với 5 điểm $A,T,E,F,I$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AFT}=\widehat{AET}$

$\Rightarrow \widehat{BFT}=\widehat{CET}$ (hai góc kề bù tương ứng bằng nhau)

Với 4 điểm $B,T,A,C\in \left( O \right)$

$\Rightarrow \widehat{TBF}=\widehat{TCE}$ (cùng chắn cung $AT$)

$\Rightarrow \Delta TBF\backsim\Delta TCE\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BF}{CE}=\dfrac{TF}{TE}$

Mà ở trên đã chứng minh $\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{NF}{NE}$

Nên $\dfrac{TF}{TE}=\dfrac{NF}{NE}$

Tỉ số này chứng tỏ $TN$ là phân giác $\widehat{FTE}$

Với 5 điểm $A,T,E,F,I$ cùng thuộc một đường tròn

Ta có $\widehat{ITF}=\widehat{IEF}$   và   $\widehat{ITE}=\widehat{IFE}$

Mà $\widehat{IEF}=\widehat{IFE}$

Nên $\widehat{ITF}=\widehat{ITE}$

Do đó $TI$ là phân giác $\widehat{FTE}$

Như vậy $TI\equiv TN\Rightarrow T,I,N$ thẳng hàng

3)

Ta sẽ chứng minh $T,D,M$ thẳng hàng trước

Từ $\Delta TBF\backsim\Delta TCE\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{TB}{TC}=\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{BD}{CD}$

Tỉ số này chứng tỏ $TD$ là phân giác $\widehat{BTC}$

Do $I$ là tâm nội tiếp và $AI$ cắt $\left( O \right)$ tại $M$

Nên $M$ là điểm chính giữa cung $BC$

Vì vậy $TM$ là phân giác $\widehat{BTC}$

$\Rightarrow TD\equiv TM\Rightarrow T,D,M$ thẳng hàng

Gọi $P$ là giao điểm $TM$ và $AH$

Gọi $L$ là giao điểm $PD$ và $IH$

Có $\Delta ABH\backsim\Delta AKC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{KAC}$

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Nên $\widehat{HAM}=\widehat{KAM}$

$\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{KTM}$

$\Rightarrow \widehat{PAI}=\widehat{PTI}$

$\Rightarrow ATPI$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{API}=\widehat{ATI}=90{}^\circ $

$\Rightarrow IP\bot AH$

$\Rightarrow IPHD$ là hình chữ nhật

Do đó $L$ là trung điểm $IH$

Vậy $TM$ đi qua trung điểm $L$ của $IH$