a. Ta có Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn => Ax vuông AB

=> ∆IAB vuông tại A

Ta lại có góc AMB = 90° (nhìn đường kính AB)

 => AM vuông MB

=> AM là đường cao ứng với cạnh BI trong ∆IAB

Áp dụng hệ thức lượng vào ∆IAB vuông tại A, đường cao AH ta được:

IA^2 = IM.IB

b.

Ta có AF là đường phân giác của góc MAI (gt)

=> Góc IAF = góc MAF

=> Cung AE = cung EM

Ta lại có góc AFB = cung AB - cung EM

Góc FAB = cung EB = cung AB - cung AE

Do đó góc AFB = góc FAB

=> ∆BAF cân tại B

c.

Gọi O là tâm đường tròn đường kính AB

=> O là trung điểm AB

Ta có góc MBA = cung AM/2 = cung AE

Mà cung AE = góc AOE

Nên góc MBA = góc AOE

=> OE // BM (hai góc đồng vị bằng nhau)

Mà O là trung điểm AB

Nên EO là đường trung bình trong ∆BAF

=> AE = EF

Xét ∆AHK có

AE là đường phân giác của góc HAK

Góc AEB = 90° (nhìn đường kính AB)

=> AE vuông BH

Hay AE là đường cao ứng với cạnh HK

Do đó ∆AHK cân tại A

=> AE là trung tuyến ứng với cạnh HK

Hay EH = EK

Xét tứ giác AKFH có

AF cắt HK tại E

AF vuông HK (góc AEK = 90°)

EA = EF (cmt)

EH = EK (cmt)

Do đó AKFH là hình thoi

d.

Tứ giác AKFI là tứ giác nội tiếp

=> Góc AIF = góc FKM

Mà góc FKM = góc IAM (đồng vị)

Góc IAM = góc MBA (cùng phụ góc MAB)

Nên góc AIF = góc MBA

=> ∆ABI vuông cân tại A

=> Góc MBA = 45°

Xét ∆MAB vuông tại M có góc MBA = 45°

=> ∆MAB vuông cân tại M

=> MA = MB

=> Cung MA = cung MB

=> M là điểm chính giữa của cung AB