Giải thích các bước giải:

Xét `2003` số có dạng `2004, 20042004, 200420042004, ..., 2004200420042004...2004` `(2003` lần số `2004).`
TH1: Nếu có `1` số chia hết cho `2003` thì luôn tồn tại `1` bội của `2003` có dạng `200420042004...2004.`
TH2: Nếu không có số nào chia hết cho 2003 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi 2 số đó là \(a_m=20042004...2004\) `(m` lần số `2004)` và \(a_n=20042004...2004\) `(n` lần số `2004)`

$\Rightarrow a_m-a_n=2004..200400..000$ $\vdots$ $2003$ `(m-n` lần số `2004` và `4n` lần số `0)`

`⇔20042004...2004.10^(4n)⋮2003`

Mà `ƯCLN(10^(4n),2003)=1`

`=>`Luôn tồn tại `1` bội của `2003` có dạng `200420042004...2004.`

Xét 2004 số có dạng 2004, 20042005, 200420042004,....., 200420042004...2004 (2004 số 2004)

Khi chia 2004 số này cho 2003 thì số dư có thể là: 0,1,2,3,...,2002

Áp dụng nguyên lí Dirichlet ⇒ có ít nhất 2 số tự nhiên có cùng dư khi chia 2003

                                          ⇒ hiệu 2 số đó chia hết 2003

Gọi 2 số đó là 2004....20042004 (m số 2004) và 20042004...20042004 (n số 2004)  ( 1 ≤ m < n ≤ 2004 )

Ta có:  2004....20042004 (n số 2004) - 20042004...20042004 (m số 2004) chia hết 2003

    ⇒   2004.....200400...00  (m chữ số 0)

    ⇒   2004...2004  (n - m số 2004) x 10^m  chia hết 2003

    mà (10^m, 2003) = 1

    ⇒  2004...2004  (n - m số 2004) chia hết 2003

Vậy tồn tại 1 bội của 2003 có dạng 200420042004...2004