1) Vì bán kính là 3cm nên $AB=2.3=6cm$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot A$ do $AC$ là tiếp tuyến của (O), $\widehat{ADB}=90^o$ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $AD\bot BC$

$\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac1{AC^2}+\dfrac1{AB^2}=\dfrac1{8^2}+\dfrac1{6^2}=\dfrac{576}{25}$

$\Rightarrow AD=4,8$cm

2) Ta có $\widehat{ADB}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên $\widehat{EDN}=90^o$ (kề bù $\widehat{ADB}$)

$\widehat{AMB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên $\widehat{NME}=90^o$ (kề bù $\widehat{AMB}$)

Tứ giác $MNDE$ có:

$\widehat{EDN}+\widehat{NME}=180^o$

$\Rightarrow MNDE$ nội tiếp.

3) Ta có $BM\bot AN$ (vì $\widehat{AMB}=\widehat{NMB}=90^o$) (1)

$\widehat{DBM}=\widehat{DAM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

$\widehat{DAM}=\widehat{CAM}$ (do $AM$ là phân giác $\widehat{CAD}$)

$\widehat{CAM}=\widehat{MBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{DBM}=\widehat{MBA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta BAN$ có $BM$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên $\Delta BAN$ cân đỉnh B.

4) Ta có $BM\bot AN$, $AD\bot BN$ mà $E\equiv AD\cap BM$

$\Rightarrow E$ là trực tâm $\Delta ABN\Rightarrow NE\bot AB$ mà $EF\bot AB$

$\Rightarrow N, E, K$ thẳng hàng.