Với $m=4$ thì phương trình trở thành $5x+2.4-1>0\Leftrightarrow 5x+7>0$ vô nghiệm

Điều này là vô lý vì $x\ge -\dfrac{7}{5}$ thì phương trình có nghiệm.

Với $m\ne 4$ thì phương trình trở thành phương trình bậc 2

Yêu cầu bài toán tương đương với $(m-4)x^2+(m+1)x+2m-1\le 0$ có nghiệm $\forall x\in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 4 < 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 4\\ {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\left( {2m - 1} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 4\\ {m^2} + 2m + 1 - 4\left( {2{m^2} - 9m + 4} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m <  4\\ - 7{m^2} + 38m - 15 \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 4\\ \left[ \begin{array}{l} m \le \dfrac{3}{7}\\ m \ge 5 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow m < \dfrac{3}{7} \end{array}$

Vậy $m<\dfrac{3}{7}$ thì phương trình $(m-4)x^2+(m+1)x+2m-1>0$ vô nghiệm.

* Nếu gặp bài toán chứng minh vô nghiệm thường ta tìm $m$ sao cho phương trình ngược có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$

Đáp án: