Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta ACI$ có:

Chung $\hat A$

$AB=AC$

$\widehat{AHB}=\widehat{AIC}(=90^o)$

$\to\Delta ABH=\Delta ACI$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BH=CI, AH=AI$

$\to\Delta AHI$ cân tại $A$

$\to \widehat{AHI}=90^o-\dfrac12\hat A=\widehat{ACB}$

$\to HI//BC$

b.Xét $\Delta AKI,\Delta AHI$ có:

Chung $AK$

$\widehat{AIK}=\widehat{AHK}(=90^o)$

$AI=AH$

$\to\Delta AKI=\Delta AHK$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to KI=KH$

$\to KB=BH-HK=CI-IK=CK$

$\to\Delta KBC$ cân tại $K$

d.Ta có $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=\dfrac12BC=3cm$

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A, M$ là trung điểm $BC\to AM\perp BC$

$\to \Delta AMB$ vuông tại $M$

$\to AM^2=AB^2-BM^2=16$

$\to AM=4$

d.Ta có: $AB=AC, KB=KC, MB=MC$

$\to A, K, M\in$ trung trực $BC$

$\to A, K, M$ thẳng hàng

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)  Xét ΔACH và ΔACI 

   Có : AB = AC ( gt ) 
         Góc A chung 
    Góc AHB = Góc AIC = 90 độ ( do có đường cao BH và CI ) 
   => ΔACH = ΔACI  ( cạnh huyền - góc nhọn ) 
  => BH = CI , AH = AI ( 2 cạnh tương ứng ) 
=> Δ AHI cân tại A 
=> Góc AHI = 90 độ - $\dfrac{1}{2}$A = Góc ACB 
=> HI //BC 
b) Xét ΔAKI và ΔAHI có 
        AI = AH 
       AK cạnh chung 
  Góc AIK = Góc AHK =90 độ 
 => ΔAKI = ΔAHI ( cạnh huyền góc vuông ) 
=> KI = KH ( 2 cạnh tương ứng ) 
-> KB = BH - HK = CI - IK = CK 
=> ΔBKC cân tại K
c) Do M là trung điểm của BC ( gt ) 
-> MB = MC = $\dfrac{1}{2}$BC  = 3cm 

Mà ΔABC cân tại A , M là trung điểm của BC =>MA ⊥ BC
=> AMB vuông tại M 
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có : 
$AM^{2}$ = $AB^{2}$ - $BM^{2}$ = 4cm 
Có : AB = AC ( gt ) , KB = KC , MB = MC 
Vậy A,K,M thuộc đường trung trực của BC 
=> 3 điểm thẳng hàng