a.

Xét ∆BEC (^E = 90°) và ∆CFB (^F = 90°) có

BC cạnh chung

Góc BCE = góc CBF (∆ABC cân tại A)

Do đó ∆BEC = ∆CFB (cạnh huyền - góc nhọn)

b.

Ta có:

AB = AC (gt)

BF = EC (∆BEC = ∆CFB)

=> AB - BF = AC - EC

=> AF = AE

=> ∆AFE cân tại A

c.

Ta có ∆ABC cân tại A (gt)

Suy ra góc ABC = 90° - góc A/2

Ta lại có ∆AFE cân tại A (câu b)

Suy ra góc AFE = 90° - góc A/2

Do đó góc ABC = góc AFE

Suy ra EF // BC

d.

Ta có:

CF là đường cao ứng với cạnh AB (gt)

BE là đường cao ứng với cạnh AC (gt)

BE cắt CF tại H (gt)

Suy ra H là trực tâm của ∆ABC

Suy ra AH vuông BC

Ta lại có ∆ABC cân tại A

Có AM là trung tuyến ứng với cạnh BC

Suy ra AM là đường cao ứng với cạnh BC

Suy AM đi qua H

Hay A, H, M thẳng hàng

a) Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt)
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)
Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CFB$ có:
$\widehat{BEC}=\widehat{CFB}(=90^{0})$
BC chung
$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta BEC=\Delta CFB$ (cạnh huyền - góc nhọn) (*)
b) Từ (*)$\Rightarrow BF=EC$ (hia cạnh tương ứng)
mà AB=AC (do $\Delta ABC$ cân tại A)
$\Rightarrow AB-BF=AC-EC$
$\Leftrightarrow AF=AE $
$\Rightarrow \Delta AFE$ cân tại A
c) Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt)
mà $\Delta AFE$ cân tại A (cmt)
$\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ABC}$
mà hai góc ở vị trí đồng vị
$\Rightarrow FE//BC $
d) Vẽ AG là đường cao của $\Delta ABC$
$\Rightarrow A,H,G$ là ba điểm thẳng hàng
$\widehat{AGB}=\widehat{AGC}(=90^{0})$
Xét $\Delta AGB$ và $\Delta AGC$ có:
AB=AC (cmt)
$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta AGB=\Delta AGC$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow BG=GC$ (hai cạnh tương ứng)
mà M là trung điểm của BC (gt)
$\Rightarrow A,H,M$ là ba điểm thẳng hàng